天才的童年

拉馬努金出生於1887年，這個時候的印度還是英國的殖民地，印度民眾遭受慘無人道的剝削，生活得不到保障，教育程度相當落後。

神奇的是，這位數學天才就是在這樣的環境當中成長起來的，拉馬努金沒有接收過系統的知識理論教學。

拉馬努金去世

在英國劍橋大學研究期間，拉馬努金憑藉自己的天賦，成功跨越攻讀學習階段，成為劍橋大學的院士，並且斬獲了科學界的最高榮譽、英國皇家協會會員的身份。

可拉馬努金對研究太認真了，每次工作到半夜，第二天早上6點不到又起床繼續研究。

再加上第一次世界大戰的爆發，世界各地缺乏蔬菜，拉馬努金的營養得不到保障，這使得拉馬努金的健康狀況堪憂。

人們越是研究拉馬努金的公式，就越能發現拉馬努金的天才所在，就連拉馬努金的某些證明過程是跳躍式的，讓人完全無法理解，但就是正確的！

拉馬努金這一生為世人留下了令人著魔的、深奧的數學遺產，其中包含了大量沒有證明的公式和命題。許多數學家都致力於這方面的研究，一直到1997年，才總算是完成了其中的一部分，並整理出版。

下面請欣賞神奇數學家拉馬努金的神奇公式：

1）拉馬努金圓周率公式：

1π=89801∑k=0∞(4k)!(1103+26390k)(k!)43964k\\frac 1 \\pi =\\frac{\\sqrt}\\sum^\\infty_ \\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^}

2）拉馬努金常數 eπ163e^{\\pi \\sqrt} （幾乎是一個整數）：

3）拉馬努金的士數1729（能以兩種不同方式表示成兩個正立方數之和的最小的數）：

1729=13+123=93+1031729=1^3+12^3=9^3+10^3

4）拉馬努金連根式：

1+21+31+41+⋯=3\\sqrt}}}=3

2−2+2+2−⋯=2sin⁡(π18)\\sqrt}}}=2\\sin\\Big(\\frac{\\pi}\\Big) (根號內符號按\"−,+,+-,+,+ \"循環）

5）拉馬努金餘弦立方根公式：

−cos⁡(π9)3+cos⁡(2π9)3+cos⁡(4π9)3=393−623-\\sqrt[3]{\\cos\\Big(\\frac{\\pi}\\Big)}+\\sqrt[3]{\\cos\\Big(\\frac\\Big)}+\\sqrt[3]{\\cos\\Big(\\frac\\Big)}=\\sqrt[3]{\\frac-6}}

cos⁡(2π7)3+cos⁡(4π7)3+cos⁡(6π7)3=5−37323\\sqrt[3]{\\cos\\Big(\\frac\\Big)}+\\sqrt[3]{\\cos\\Big(\\frac\\Big)}+\\sqrt[3]{\\cos\\Big(\\frac\\Big)}=\\sqrt[3]{\\frac}}

6）拉馬努金無窮級數（其中 Γ\\Gamma 是Gamma函數）：

1+9(14)4+17(1×54×8)4+25(1×5×94×8×12)4+⋯=22πΓ2(34)1 + 9\\left(\\frac14\\right)^4 + 17\\left(\\frac\\right)^4 + 25\\left(\\frac\\right)^4 + \\cdots = \\frac{\\sqrt\\pi\\,\\Gamma^2\\left(\\frac34\\right)}

7）拉馬努金等式（對於任意 θ\\theta ）：

8π3Γ4(14)=1(1+2cos⁡(θ)cosh⁡(π)+2cos⁡(2θ)cosh⁡(2π)+2cos⁡(3θ)cosh⁡(3π)+⋯)2+1(1+2cosh⁡(θ)cosh⁡(π)+2cosh⁡(2θ)cosh⁡(2π)+2cosh⁡(3θ)cosh⁡(3π)+⋯)2\\begin \\frac{\\Gamma^4 \\left ( \\frac14 \\right )} =& \\ \\frac{\\left ( 1+2\\frac{\\cos(\\theta)}{\\cosh(\\pi)}+2\\frac{\\cos(2\\theta)}{\\cosh(2\\pi)}+2\\frac{\\cos(3\\theta)}{\\cosh(3\\pi)}+\\cdots \\right )^2}\\\\ &+ \\frac{\\left (1+2\\frac{\\cosh(\\theta)}{\\cosh(\\pi)} +2\\frac{\\cosh(2\\theta)}{\\cosh(2\\pi)} +2\\frac{\\cosh(3\\theta)}{\\cosh(3\\pi)} +\\cdots\\right )^2} \\end

8）拉馬努金積分式：

∫0∞1(1+x2)(1+r2x2)(1+r4x2)(1+r6x2)⋯dx=π2(1+r+r3+r6+r10+r15+⋯)\\begin&\\int\\limits_0^\\infty \\frac{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)(1+r^6x^2)\\cdots} dx\\\\ &\\quad = \\frac{\\pi}+r^+\\cdots)}\\end

∫0∞1+x2(b+1)21+x2a2×1+x2(b+2)21+x2(a+1)2×1+x2(b+3)21+x2(a+2)2×⋯dx=π2×Γ(a+12)Γ(b+1)Γ(b−a+1)Γ(a)Γ(b+12)Γ(b−a+12)\\begin&\\int\\limits_0^\\infty \\frac{(b+1)^2}}} \\times\\frac{(b+2)^2}}{(a+1)^2}}\\times \\frac{(b+3)^2}}{(a+2)^2}}\\times\\cdots\\,dx \\\\ &\\quad = \\frac{\\sqrt \\pi} \\times\\frac{\\Gamma\\left(a+\\frac12\\right) \\Gamma(b+1) \\Gamma(b-a+1)}{\\Gamma(a)\\Gamma\\left(b+\\frac12\\right)\\Gamma\\left(b-a + \\frac12 \\right)}\\end

9）拉馬努金連分數（其中 ϕ=(1+5)/2\\phi=(1+ \\sqrt5)/2 是黃金分割率）：

ϕ+2−ϕ=e−2π51+e−2π1+e−4π1+e−6π1+e−8π1+⋯\\sqrt{\\phi+2}- \\phi = \\cfrac}}}}}}}}}}

51+(534(ϕ−1)52−1)15−ϕ=e−2π51+e−2π51+e−4π51+e−6π51+e−8π51+⋯\\frac{\\sqrt}} (\\phi-1)^{\\frac}-1\\big)^{\\frac}} - {\\phi}=\\cfrac{\\sqrt5}}}}}}}}}}}}}}}

∫0∞4xe−5xcosh⁡(x)dx=11+121+121+221+221+321+321+⋯\\int_0^\\infty \\fracx}}{\\cosh(x)}dx=\\cfrac}}}}}}

eπ2=11+11+21+31+41+51+⋯+[1+11×3+11×3×5+11×3×5×7+⋯]\\begin&\\sqrt{\\frac} = \\cfrac}}}}}\\\\ &\\qquad \\qquad +\\left[1+\\frac+\\frac+\\frac+\\cdots\\right]\\end

拉馬努金，一個能感知無窮的人。

內容簡介  · · · · · ·

Readers will learn in the introduction to this volume that mathematicians owe a huge debt to R.A. Rankin and J.M. Whittaker for their efforts in preserving Ramanujan\'s \"Lost Notebook.\" If it were not for them， Ramanujan\'s lost notebook likely would have been permanently lost. Rankin was born in Garlieston， Scotland， in October 1915 and died in Glasgow in January 2001. For several years he was professor of Mathematics at the University of Glasgow. An account of his life and work has been given by B.C. Berndt， W. Kohnen， and K. Ono in [79]. Whittaker was born in March 1905 in Cambridge and died in Sheffield in January 1984. At his retirement， he was vicechancellor of Sheffield University. A description of Whittaker\'s life and work has been written by W.K， Hayman.