【認識數學1】

內容簡介

本書是《認識數學》系列數學科普書的第一卷，由10篇文章組成，作者均是中國科學院數學院系統科學研究院的科研人員。 內容包括黎曼猜想——引無數英雄競折腰，三角往事，憑聲音能聽出鼓的形狀嗎，三體問題——天體運行的數學一瞥，圖論就在我們身邊，孤立子背後的數學，真的嗎？ 如何檢驗？ 群體運動中的數學問題，劍橋分析學派，數學的意義。 文章選題的主要考慮因素是有趣、深刻和重要，寫作力求引人入勝。

目錄

序

1黎曼猜想——引無數英雄競折腰席南華

1.1素數1

1.2歐拉對素數有無窮多個的證明3

1.3高斯和勒讓德關於素數分佈的猜想8

1.4黎曼zeta函數10

1.5黎曼zeta函數的零點的研究14

1.5.1非平凡零點的實部在0和1之間14

1.5.2黎曼-曼戈爾特公式15

1.5.3數值計算16

1.5.4理論研究20

1.5.5零點的分佈規律22

1.6黎曼猜想的一些等價形式24

1.7黎曼猜想的影響26

1.7.1狄利克雷L函數26

1.7.2更一般的L函數27

1.7.3韋伊猜想28

參考文獻28

2三角往事周正一

2.1歐氏幾何和三角形內角和35

2.2什麼是直線？ 38

2.3非歐幾何學39

2.4內蘊和外嵌——披薩餅的幾何學43

2.5三角形內角和、曲率和拓撲49

2.6結束語——既是量子世界，也是星辰大海52

參考文獻54

3憑聲音能聽出鼓的形狀嗎劉曉東張波

3.1振動弦55

3.2振動膜63

3.3聽音辨鼓65

參考文獻70

4三體問題——天體運行的數學一瞥張建路

4.1引言72

4.2自然法則的數學語言73

4.3三體問題——瑞典國王奧斯卡二世的一個懸賞問題77

4.4軌道的分類83

4.5 KAM：星系的穩定性85

4.6變分法與對稱軌道88

4.7回溯：時代的偉大與新挑戰91

參考文獻93

5圖論就在我們身邊陳旭瑾

5.1哥尼斯堡七橋問題：能找到理想的遊歷路線嗎？ 96

5.2拉姆齊數：聚會中有多少人彼此（不）相識？ 99

5.3平面圖：令人滿意的土地劃分方案存在嗎？ 105

5.4四色問題：地圖染色用四種顏色夠了嗎？ 112

5.5握手引理：與奇數個人握過手的人數一定是偶數嗎？ 116

5.6樹圖：有效連通（訪問）網絡的管道有哪些？ 120

5.7哈密頓圈：環遊世界的路線存在嗎？ 125

5.8圖論優化：如何在圖中快速尋優？ 129

5.9結束語142

參考文獻143

6孤立子背後的數學常向科胡星標

6.1 Russell與孤立波的故事145

6.2 Korteweg-de Vries方程148

6.3 Fermi-Pasta-Ulam問題與孤立子151

6.4反散射方法155

6.5孤立子與可積系統及其應用158

6.6結束語161

參考文獻162

7真的嗎？ 如何檢驗？ 何煦李輝

7.1從女士品茶引發的檢驗說起166

7.2能用星座預測諾貝爾文學獎嗎？ 168

7.3假設檢驗的基本思想和方法171

7.3.1建立原始假設和備選假設171

7.3.2兩類錯誤171

7.3.3顯著性水准172

7.3.4選取或構造檢驗統計量173

7.3.5利用p值進行決策175

7.4假設檢驗的小歷史176

7.5成也p值，敗也p值177

7.5.1捨棄原始假設的含義178

7.5.2保留原始假設的含義179

7.5.3相關性與因果性180

7.5.4多重檢驗陷阱183

7.5.5結束語185

參考文獻186

8群體運動中的數學問題陳鴿

8.1 Boid模型介紹190

8.2 Vicsek模型介紹195

8.3真實鳥群的建模202

8.4結束語205

參考文獻207

9劍橋分析學派李文林

9.1 19世紀初的英國數學209

9.2分析學會213

9.3數學物理學派——從格林到麥克斯韋216

9.3.1喬治.格林216

9.3.2湯姆孫和斯托克斯220

9.3.3克拉克.麥克斯韋223

9.3.4結束語226

參考文獻228

10數學的意義席南華

10.1遙遠的過去，數學是什麼樣子229

10.2數（sh ǔ） 數（shù）234

10.3認識無限236

10.4一些觀點237

10.5探索世界的精靈242

10.6數學的智慧243

10.7數學的美246

10.8數學家254

線上試讀

1黎曼猜想—引無—數英雄競折腰

席南華

如果要問一個數學家，在數學裡面哪個問題最有名，很可能你會聽到的答案是：黎曼猜想.黎曼猜想有時稱為黎曼假設，它是關於一個稱為黎曼zeta函數的零點的斷言.

所謂函數的零點，就是讓函數取值為0的點，用方程的語言說就是這個函數的根，含義類似於多項式的根，如的零點就是x2.1=0的根1和.1； 正弦函數sinx的零點就是，因為.要說清楚這個猜想和它的重要性，我們需要從整數中的素數說起.

1.1素數

經常遇到要把一群人平均分為若干組，若干數量的物品平均分配等這類事情.有時候這樣的事情很容易做到，比如99個人平均分成9組； 有時候這樣的事情並不容易做到，比如8個蘋果平均分給3個人.你很快就識別出這裡問題的本質為一個數是否為另一個數的（整）倍數.現在你可能會想到我們每天的時間分成24小時，每小時分成60分鐘是很智慧的設計：12小時是半天，6小時是四分之一天，30分鐘是半小時， 15分鐘是一刻鐘等.如果每天的時間分成23小時，每小時分成59分鐘，那會帶來很多的不便，極大新增日常生活和工作的複雜度.

在正整數裡面，每個數當然是1的倍數，也是自身的倍數，常常還是一些其他數的倍數，比如剛才說到的99還是9和11的倍數，8還是2和4的倍數.但是也有很多的正整數，除了1和自身以外，不是任何其他正整數的倍數，如2,3,5,7,11,13，….這類數稱為素數，也稱為質數，它們不能寫成兩個更小的正整數的乘積， 從而構成整數乘法的基本單元，這是說：每個大於1的正整數都能寫成素數的乘積，而且這個寫法本質上是唯一的（即利用乘法交換性，可以把一個寫法變到另一個寫法，如2 × 3和3 × 2本質上是一樣的）.

這個結論看上去極其簡單，但卻十分重要，被稱為算術基本定理.它也說明素數在整數乘法中的角色類似於原子在物質世界的角色.素數的內涵是極其豐富的，甚至可以說是廣袤又深不可測.很多小學生都能理解的問題到現在都無法證明或回答，如

哥德巴赫猜想：每個大於2的偶數都是兩個素數的和.

孿生素數猜想：存在無窮多的素數，它們加上2之後還是素數.

素數的個數：給了一個正數x，在1和x之間有多少個素數？

對哥德巴赫猜想，我們可以試一些偶數，易見6=3 3,20=13 7100=3 97=41 59，….到目前為止，關於哥德巴赫猜想最著名的工作是陳景潤1966年證明的結果：每個充分大的偶數是1個素數加上素因數個數不超過2的正整數，俗稱“1 2”.關於素因數的個數，我們用例子說一下，素數的素因數個數是1,6=2 × 3的素因數個數為2,12=2 × 2 × 3的素因數個數為3.

對於孿生素數，我們有一些例子，如3,5,11,17,29,41等加2之後還是素數.剛開始很容易找到這樣的素數，後面就越來越少了.2013年1黎曼猜想——引無數英雄競折腰華裔數學家張益唐在孿生素數猜想上取得突破，他證明了存在無窮多個素數，它們中的每一個加上某個比7000萬小的數是素數.

對於找出在1和x之間的素數個數，到現在為止，沒有一個可用的公式.不過沿著這條路的探索卻是成果豐碩，一些最偉大的數學家在這裡都做出讓人驚歎的貢獻.首先，我們知道素數有無窮多個.在歐幾裡得的《幾何原本》中有一個優美的證明：

如果我們已經有素數p1，p2，p3，…，pn，考慮它們的乘積加1

很明顯，p1，p2，p3，…，pn都不整除這個數，所以這個數的素因數都有別於前面的n個素數，於是我們得到一個新的素數pn 1.繼續這個過程，我們就能得到無窮多個素數.比如，從2開始，2 1=3是素數； 2 × 3 1=7是素數； 2 × 3 × 7 1=43是素數； 2 × 3 × 7 × 43 1=13 × 139，這裡的素因數13和139和前面的2,3,7,43是不一樣的素數…….

往事越千年，素數有無窮多個的結論是那麼清晰，歐幾裡得的證明是那麼得優美，很容易讓人覺得這件事情沒有進一步研究的價值，以致在後面兩千多年的時間裏人類在素數個數的認識上陷入停滯.原因是多方面的，其中一個重要的原因是進一步認識素數還需要更多的數學工具和理論，包括微積分、無窮級數、 無窮乘積、複分析等.

時間到了18世紀，偉大的數學家歐拉（L.Euler）登場了.

1.2歐拉對素數有無窮多個的證明

歐拉從前面說過的算術基本定理出發，對素數有無窮多個給了另一個證明.我們很快就會看到，這個證明開啟了一扇大門，影響是深遠的.歐拉的證明用到等比數列的求和.對一個非零數x，下麵的數列是一個等比數列（後一項和前一項的比都是一樣的）：

它的前n項的求和記作Sn.如果x.=1，就有

（1）

上式的第二個等式可以推導如下：

所以，兩邊除以，得.

如果x的絕對值|x|小於1，那麼當n很大時，xn的絕對值就會很小，比如0.99910000<0.00005.容易理解，如果x的絕對值小於1，當n越來越大時，xn就會越來越接近0，從而Sn=1 x x2…xn.1=1.xn1.x越來越接近.在數學上，我們是這樣說剛才的現象：如果x的絕對值|x|小於1，等比數列1，x，x2，…，xn， …的全部項加起來得到的無窮和1 x x2…xn.1…收斂到

（2）

如果p是素數，那麼，根據上式，我們有

（3）

現在回到歐拉的證明.如果素數只有有限個，記作p1，p2，p3，…，pk.根據算術基本定理，每個正整數就能寫成這些素數的乘積pa1其中a1，a2，…，ak都是非負整數.要得到更多的資訊，我們嘗試把所有的正整數加起來.

這裡我們用記號P表示連加，連加的範圍由名額m和ai的取值範圍確定.不過上式不能給我們帶來什麼有用的資訊，因為等式中的求和結果都是無窮大.

換一個想法，考慮倒數的求和，則得到

很明顯，上面的式子中最後一個等式的右邊是一個有理數.如果能够說明上式第一個等式的左邊的無限求和的值是無窮大，我們就得到衝突了，從而說明原來的假設只有有限個素數是不成立的.

我們先注意到如下事實：對任意的正整數j，有

於是，前2j 1=2j 2j個正整數的倒數和為

當j越來越大時，會變得越來越大.可見所有的正整數的倒數和是無窮大.我們寫下這個結論：

（4）

歐拉證明素數有無窮多個的方法看上去比歐幾裏得的方法要複雜得多，但是歐拉的方法的巨大價值在於把無窮級數等微積分的工具用於研究素數，富有啟示，開闢了一個遼闊的研究疆域.

我們繼續看歐拉用他的思想方法給我們帶來了什麼.仍利用算術基本定理，以一個固定的數s為指數，考慮正整數幂的倒數和，和前面s=1的情况類似，得到

（5）

注意我們用符號Q表示連乘，連乘的範圍由名額的範圍確定.上式右端的乘積稱為歐拉乘積….

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【認識數學2】

內容簡介

本書是《認識數學》系列數學科普書的第二卷，由9篇文章組成，作者均是中國科學院數學與系統科學研究院的科研人員。 文章的標題有費馬大定理——一個歷史的傳奇，朗蘭茲綱領簡介，最速降線問題，生活中的電磁和數學，最短距離中的一些數學問題，醉漢淩亂的脚步是否能把他帶回家？ 自己能抗干擾的控制方法，莫斯科數學學派，基礎數學的一些過去和現狀。 文章選題的主要考慮因素是有趣、深刻和重要，寫作力求引人入勝。

在第二卷中，您可以找到這些問題的答案：費馬大定理是什麼？ 朗蘭茲綱領是什麼？ 300多年前的一個數學公開挑戰問題——最速降線問題； 光為什麼可以在真空中傳播？ 觸控式螢幕手機是什麼原理？ 在乾燥的環境下，接觸化纖類衣物什麼會有“針紮”的感覺？ 醉漢淩亂的脚步是否能把他帶回家？

目錄

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【認識數學3】

內容簡介

本書是《認識數學》系列數學科普書的第三卷，由8篇文章組成，前7篇文章的作者均是中國科學院數學與系統科學研究院的科研人員，最後一篇文章是翻譯文章。 文章的標題包括悖論、邏輯和不完全性定理，流體的奧秘——流體力學方程，尋找優，壓縮感知的數學原理，輾轉相除法——算灋的祖先，熵助我們理解混亂與無序，密碼與數學，數學史：為什麼，怎麼看。 文章選題的主要考慮因素是有趣、深刻和重要，原創文章寫作力圖引人入勝，譯文力圖信達雅。

在第三卷中，您可以看到這些問題：悖論是什麼？ 七個千禧年問題之一——Navier-Stocks方程是否有整體光滑解； 瞎子爬山問題； 壓縮感知應用在CT成像、核磁共振成像、天文觀測、雷達等領域； 算灋的祖先——輾轉相除法； 熵； 密碼問題； 怎麼看數學史。

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