《幾何學的力量》是《魔鬼數學》、數學家作者喬丹·艾倫伯格的新書，是一本關於幾何學的精彩發展歷程和豐富實踐應用的普及讀物，其間你將在歐幾里得、畢達哥拉斯、龐加萊、費馬、康威、牛頓等一眾大咖“導師”的指引下，縱橫於經濟、政治、金融、大數據、宇宙等多個重要領域，探索一些重要的科學、政治、經濟、哲學、醫學、信息技術、生物學等問題背後的幾何原理。

艾倫伯格用風趣詼諧、寓教於樂的文字告訴我們，幾何學非但不是你人生中的“劫難”，更會成為你生活中的助力。這本書從讀者身邊的事物入手，比如吸管、數字貨幣、學校教育、股市、流行病等，抽絲剝繭解釋在它們背後幾何學扮演的重要角色，引導讀者將幾何學知識應用到自己的生活和工作中去，詳細解答了讀者的“我學了幾何學究竟有什麼用？”的疑問，並啟迪和啟發讀者的創新思維。

“幾何學”一詞的初含義是“丈量世界”，但經過漫長的發展歷程，它的含義包羅萬象，可以解釋世間萬物的運行機制。如果你想知道幾何學到底有什麼用處，想用幾何思維重新認識我們身邊的世界，就跟隨這本書去重新發現幾何學的神奇力量吧。

你將在歐幾里得、畢達哥拉斯、龐加萊、費馬、康威、牛頓等一眾大咖“導師”的指引下，縱橫於經濟、政治、金融、大數據、宇宙等多個重要領域。

 你將在“畫得很爛”的手繪插圖的幫助下，習得出色的問題推理能力。

 你將會讀到“諾特的褲子”“笨蛋的難關”“醉漢下圍棋”“無處不在的車鑰匙”“香農圖書館”等諸多有趣的幾何故事。

我們生活在一座蓬勃生長、欣欣向榮的“幾何城市”中。幾何學並未超越時空，它就在我們身邊，與日常生活中的各種推理交織在一起。

在這本書中，《魔鬼數學》作者、數學家喬丹·艾倫伯格帶領我們展開了一場海闊天空的探索之旅，旅程的終極意義是：通過發現幾何學的力量，我們能夠更好地思考每一個現實問題，重新認識我們身邊的世界。

一根吸管有幾個洞？尼姆遊戲的必勝玩法是什麼？數字貨幣交易中的公鑰和私鑰是怎么生成的？我們如何做才能阻止一場流行病肆虐世界？人工智能在學下國際象棋方面得心應手，而在學習朗讀句子方面卻力不從心，這是為什麼？古希臘的黃金分割比能用來預測股票市場的走勢嗎？如果你的孩子真想學會思考的方法，他們應該在學校學些什麼？所有這些問題都跟幾何學有關，千真萬確。

對大多數人來說，幾何學是一門充斥著枯燥刻板習題的課程，高中一畢業，它就和你的牙套、你曾經追過的流行歌曲一起，被扔進了“故紙堆”。當提起幾何學時，如果你首先想到的是如何通過一系列步驟證明關於三角形的某個顯而易見的性質，那麼這並不是幾何學，而只是幾何學的很小一部分。打個比方，三角形之於幾何學，就好比一個動詞之於一部精彩的小說。

喬丹·艾倫伯格（Jordan Ellenberg），美國威斯康星大學麥迪遜分校數學教授，擁有哈佛大學數學博士學位，他的專業研究領域是數論和代數幾何。他寫作的數學文章常見於《石板》《華爾街日報》《紐約時報》《華盛頓郵報》《連線》等知名報刊，他的代表作是《魔鬼數學》。

引　言 事物在哪裡？它們長什麼樣子？ / VII

非凡的魅力 / IX

第1章 我投歐幾里得一票 / 001

僵化死板的教學方式 / 007

畢達哥拉斯定理的證明 / 009

笨蛋的難關 / 015

等腰三角形的定義 / 021

第2章 一根吸管上有多少個洞？ / 023

通過畫得差的圖形進行好的推理 / 028

諾特的褲子 / 033

莫比烏斯帶和三體問題 / 036

第3章 給不同的事物賦予相同的名稱 / 041

拉擠變換 / 044

龐加萊，我拉擠了時空！ / 048

第4 章 獅身人面像的碎片 / 053

蚊子問題和《天才少女》 / 057

嚐一口就能知道整碗湯的味道 / 059

給《自然》雜誌的一封信 / 064

隨機遊走到巴黎證券交易所 / 068

花粉顆粒似乎具有生命力 / 071

0 號沼澤 vs 1 號沼澤 / 073

馬爾可夫鍊和香農信息論 / 077

第5 章 他的棋風就是不可戰勝 / 085

阿克巴、傑夫和尼姆樹 / 088

熱愛樹棲生活的人類 / 092

W局面和L 局面 / 098

以此類推 / 106

Nimatron先生的世界 / 110

非《軟鈕扣》不可嗎？ / 116

大獲全勝 / 120

我的程序員是上帝 / 123

非洲格拉斯哥開局 / 125

第6 章 試錯法的神秘力量 / 129

寶石手鍊和費馬大定理 / 132

費馬小定理的逆命題 / 138

兩名醉漢下圍棋 / 139

無限維度的策略空間 / 146

第7 章 機器學習如同登山 / 151

貪婪是相當好的東西 / 154

我是對還是錯？ / 158

深度學習和神經網絡 / 162

車鑰匙無處不在 / 169

第8 章 距離、家譜圖和單詞地圖 / 171

所有英語單詞的地圖 / 175

第9 章 三年來的所有星期天 / 183

第10 章 今天發生的事明天還會發生 / 191

它們不是上帝重要的思想 / 195

神奇數字R0 / 198

明年將會有77 萬億人感染天花 / 203

康威的數學遊戲 / 205

辛普森悖論 / 207

哪枚金幣是wei幣？ / 208

流行病的數學模型 / 211

斐波那契數列和梵語詩歌 / 216

牛頓第二定律和差分方程 / 219

每個點都是臨界點 / 221

第11 章 可怕的增長定律 / 223

派對把戲 / 230

但其中有些是有用的 / 235

曲線擬合師和逆向工程師 / 239

第12 章 香煙煙霧潛伏在菸葉中 / 243

南達科他州和北達科他州（上） / 245

黃金比例和波浪理論 / 255

南達科他州和北達科他州（下） / 260

揭秘谷歌的運行機制 / 265

和弦的音符和量子物理學 / 269

第13 章 空間的皺摺 / 275

世界地圖、比薩定理和北極熊 / 278

你的埃爾德什數是多少？ / 284

圖像和書蟲 / 288

遠距離讀心術和熵 / 296

世界上的名字 / 303

小世界網絡 / 307

第14 章 用數學思維破解選舉“黑魔法” / 311

約瑟夫的攻擊性地圖 / 315

衰敗選區和“格里蠑螈”行為 / 319

哪個政黨是克雷奧拉州的當權派？ / 327

從藝術到科學的演變 / 331

別再踢唐老鴨了！ / 334

把晶砂人劃分出去！ / 340

效率差距和浪費的選票 / 342

會撒謊的統計數字 / 348

錯誤的問題比錯誤的答案更糟糕 / 350

醉醺醺的選區地圖 / 353

圖像、樹狀圖和洞的凱旋 / 360

一場關於三明治的口頭辯論 / 365

從陰暗的密室到明亮的教室 / 372

結語 膨脹的房子和翩翩起舞的窗戶 / 375

機器捕捉不到事實的靈魂 / 377

每個人都離不開幾何學 / 383

致 謝 / 387

引言  事物在哪裡？它們長什麼樣子？

作為一名數學家，我經常在公共場合談論數學，這似乎能幫助人們解開某些謎團。他們會告訴我一些事情，我感覺那些都是他們長時間深埋心底的故事。其中一些故事與數學有關：有時它們是悲傷的，例如，一名數學老師無緣無故地踐踏了一個孩子的自尊心；有時它們是快樂的，例如，一個孩子受到啟發後茅塞頓開，或者一個成年人怎麼也找不到回家的路了（事實上，這個故事也有點兒悲傷）。

這些故事常跟幾何學有關。在人們對中學時期的記憶中，幾何學是那麼另類，猶如交響樂中冒出來的異常大聲的不和諧音調。有些人憎惡幾何學，他們告訴我，從開始學習幾何學的那一刻起，數學就超出了他們的理解範圍。但也有些人告訴我，幾何學是數學中他們能弄懂的部分。幾何學就像數學這道大餐中的香菜一樣，人們對它要么甘之如飴，要么避之不及。

是什麼讓幾何學變得如此與眾不同呢？在某種程度上，它是原始的，根植於我們的身體。自出生之日起，我們就開始思考兩個問題：事物在哪裡？它們長什麼樣子？有些人會告訴你，所有與我們的內心生活息息相關的事情，都可以追溯到非洲稀樹草原上那群狩獵採集者的需求。我不認同這種說法，但我也無法否認，那些原始人在學會用語言談論形狀、距離和地點之前，對這些概念就有所了解了。南美的神秘主義者（及南美以外地區的模仿者）喝下死藤水（一種宗教致huan劑）後，會在時間（好吧，是在不受控制地嘔吐後的時間）感知到一些純粹的幾何形狀，例如，像傳統清真寺裡反復出現的格柵一樣的二維圖形，或者像

由六面體巢室排列而成的蜂巢一樣的三維圖形。即使在我們失去了其他推理思維的情況下，幾何學也不會拋棄我們。讀者朋友，讓我開誠佈公地告訴你們：起初我對幾何學毫無興趣。這的確令人難以理解，畢竟我現在是一位數學家，而且我的工作就是跟幾何學打交道！

但是，自從我和其他孩子組隊參加數學聯賽，一切就都變得不一樣了。是的，一場數學聯賽。我所在中學的參賽隊伍名叫“地獄天使”，我們每次上場比賽都穿著黑色T卹，帶著一台手提錄音機，播放著休伊·劉易斯和新聞樂隊演唱的歌曲“Hip to Be Square”（《洗心革面》）。我在那場聯賽中“出名”了：只要遇到“證明∠APQ = ∠CDF”之類的問題，我就會止步不前。這並不是因為我不會解答這類問題，而是因為我使用的是笨、麻煩的方法：給圖中的多個點逐一分配坐標值，然後通過大量的代數運算和數值計算，求出三角形的面積和線段的長度。事實上，只要運用有效的幾何方法就可以避免這些煩瑣的步驟。我得出的答案有時是對的，有時是錯的，但每次的解題過程都非常痛苦。

如果世界上有幾何天賦這種東西，那我肯定沒有。我們可以給嬰兒做幾何測試：以兩幅為一組，連續向嬰兒展示一系列圖片，其中大多數組別中的兩幅圖片展示的形狀都相同，但大約每隔三組，右邊的那幅圖片展示的形狀就會與左邊的那幅圖片相反。嬰兒會花更多的時間去看那些相反的形狀，這表明他們知道“有事情發生了”，他們追求新奇事物的頭腦也會迅速做出反應。嬰兒凝視鏡像形狀的時間越長，他們在學齡前期的數學和空間推理測試中的得分就越高，也能更快、更準確地想像出不同的形狀，以及這些形狀旋轉或粘在一起後的樣子。至於我，我幾乎完全不具備這種能力。你知道加油站的刷卡機上貼的那個小圖片吧？它會告訴你刷信用卡時卡片應該朝著哪個方向。但是，它對我毫無用處，因為我的大腦無法把那幅平面圖轉化成三維動作。每次刷卡，我都不得不把 4 種可能的朝向嘗試一遍——磁條向上朝右、磁條向上朝左、磁條向下朝右、磁條向下朝左——直到機器開始讀卡。

然而，人們通常認為幾何學對現實世界的一些運算而言至關重要。凱瑟琳·約翰遜是美國國家航空航天局（NASA）的一位數學家，她因為《隱藏人物》這本書及同名電影的主人公而出名。談到她早年間在飛行研究部門取得的成功時，凱瑟琳說：“那些傢伙都有數學碩士學位，但他們徹底忘記了他們學過的幾何知識……而我還記得我學過的幾何知識。

非凡的魅力

威廉·華茲華斯的自傳體長詩《序曲》（The Prelude）講述了一個有點兒令人難以置信的故事：一個人在遭遇海難後漂流到一座無人島上，他身上除了一本歐幾里得的《幾何原本》之外別無他物。大約 2 500 年前，這本書闡述的幾何公理和命題使幾何學變成了一門正式學科。對一個遭遇海難的傢伙來說，他的運氣還算不錯：儘管他飢腸轆轆、心情沮喪，但他可以用樹枝在沙灘上作圖，通過逐一驗證歐幾里得的證明過程，打發獨居荒島的寂寞時光。而這恰恰是步入中年的華茲華斯嚮往的人生——年輕、敏感、富有詩意。詩人寫道：這些抽象的概念，對終日與圖形為伍、形單影隻的心靈而言，是多麼富有魅力啊！ （飲用死藤水的人也有類似的感受，這種藥物會對大腦產生影響，讓自認為陷入困境的大腦得到解脫。）

華茲華斯的“海難–幾何學”故事的奇怪之處在於，它基本上是真實的。華茲華斯從約翰·牛頓的回憶錄中藉用了這個故事，其中有幾行詩句更是原樣照搬過來的。 1745 年，年輕的奴隸販子約翰·牛頓被困在塞拉利昂附近的普蘭廷島上。他沒有遭遇海難，而是被他的老闆扣留在那裡，過著無所事事、食不果腹的生活。普蘭廷島也不是一座無人島，除了他以外，那裡還住著一些非洲奴隸。他主要的痛苦來源是一名控制食物流通的非洲婦女，用牛頓的話說，這是“一個在她的國家擁有重要地位的人”。牛頓百思不得其解自己為什麼會落到這步田地，他抱怨道：“這個女人從一開始就對我抱有莫名其妙的偏見。”

幾年後，差點兒死在海上的牛頓開始信奉宗教，成了一名聖公會牧師，還創作了基督教讚美詩《奇異恩典》（Amazing Grace，它對人們抑鬱時應該讀什麼書給出了截然不同的建議）。後，他宣布不再從事奴隸貿易，並成為大英帝國廢除奴隸制運動的一員干將。現在，我們回過頭講他在普蘭廷島上的生活。沒錯，他隨身帶著一本書——艾薩克·巴羅英譯版的歐幾里得《幾何原本》。在那段黑暗的日子裡，這本書中的抽象概念給了他莫大的心理安慰。他寫道：“我常常沉迷其中，幾乎忘記了自己的悲傷。”

華茲華斯借用了牛頓的“沙灘–幾何學”故事，而這並不是他與該學科僅有的親密接觸。與華茲華斯同時代的托馬斯·德·昆西在《一個鴉片吸食者的懺悔錄》（Confessions of an English Opium-Eater）中寫道：“華茲華斯是一個徹頭徹尾的數學崇拜者，尤其是對高深莫測的幾何學。這種崇拜源於抽象世界和激情世界之間的對立。”上學期間，華茲華斯的數學成績很糟糕，但他與年輕的愛爾蘭數學家威廉·哈密頓建立了惺惺相惜的友誼。有些人認為，正是因為受到哈密頓的啟發，華茲華斯才會在《序曲》中寫出描述牛頓（是艾薩克·牛頓而不是約翰·牛頓）的著名詩句：“一個靈魂，永遠孤獨地航行在陌生的思想海洋中。”

毫無疑問，這本書讓幾何學變成了一門樂趣非凡的學問。艾倫伯格用風趣詼諧、寓教於樂的文字告訴我們，幾何學非但不是你人生中的“劫難”，更會成為你生活中的助力，拓展你對現實世界和抽象世界的認知。

——《紐約時報》

在艾倫伯格的妙筆之下，嚴謹的數學知識變得引人入勝，各種數學理論令人心曠神怡。

——《柯克斯書評》

在這趟微風習習的探索之旅中，數學教授艾倫伯格展示了幾何學是如何對現實世界中的諸多問題產生影響的。經由這本書習得數學思維的讀者，將會對他們身邊的世界產生醍醐灌頂般的理解。

——《出版人周刊》

艾倫伯格以包羅萬象的視野和妙趣橫生的筆觸，將幾何學的含義及其在現實世界中的作用娓娓道來。

——《每日電訊報》

艾倫伯格對幾何學知識的闡釋和對數學人文性的探索，足以證明他為什麼會成為一位受歡迎的數學教授。

——《每日野獸》

幾乎人人都會喜歡上艾倫伯格的文字和頭腦。

——《哈佛雜誌》

對像我這樣的數學專業人士來說，當看到人們被互聯網上的一道數學問題難住，一兩天都不得其解時，這是一大樂事。我們願意看到其他人發現並享受我們一生都樂在其中的思維模式。如果你有一座非常漂亮的房子，那你肯定喜歡有人意外來訪。

以這種方式出現的問題通常都是好問題，儘管它們一開始看起來可能很無聊。而吸引你注意力的東西是，那種與一個真正的數學問題不期而遇的感覺。

例如，一根吸管上有多少個洞？

我問過的大多數人都認為這個問題的答案顯而易見。但是，在得知某些人眼中顯而易見的答案與自己的答案不同時，他們都表現得非常驚訝，有時甚至有點兒憤憤不平。這是“You’ve got another think coming”（你錯了，再好好想想吧）與“You’ve got another thing coming”（你還有一件事要做）的數學版辨誤問題。

據我所知，“一根吸管上有多少個洞？”的問題早出現在《澳大利亞哲學雜誌》（Australasian Journal of Philosophy）於 1970 年刊登的一篇論文中，斯蒂芬妮·劉易斯和戴維·劉易斯夫婦在這篇文章中討論的管狀物是一個紙巾捲筒。 2014 年，這個問題以民意調查的形式再次出現在一個健身論壇上。其爭論的腔調與《澳大利亞哲學雜誌》不同，但爭議的內容是一樣的。 “0 個洞”、“1 個洞”和“2 個洞”的答案都得到了不少人的支持。

隨後，Snapchat（色拉布，一款“閱後即焚”的照片分享應用）上出現了一段視頻：因為 2 個洞和 1 個洞的爭論，兩名大學生好友變得火冒三丈、怒目相向。這段視頻不斷傳播，終的瀏覽量超過 150 萬次。吸

管問題在Reddit（紅迪網，一家社交新聞網站）和推特上也風靡一時，還登上了《紐約時報》。 BuzzFeed（一家新聞聚合網站）的一群年輕、有魅力的員工對這個問題備感困惑，他們為此拍攝了一段視頻，也收穫了幾十萬次的點擊量。

你可能已經開始思考那幾個主要的觀點了，讓我們把它們羅列出來吧：

0個洞：把一塊長方形的塑料捲起來，然後用膠水將接口處粘住，一根吸管就做好了。長方形塑料上沒有洞，當你把它捲起來時，也不會在上面留下任何洞。所以，它仍然沒有洞。

1個洞：這個洞就是吸管的中空部分，從一直延伸到底端。

2個洞：看一眼就知道了！吸管的有1個洞，底端也有1個。

我的個目標是讓你相信這些洞確實會讓你感到困惑，即使你不這樣認為。原因在於，上述三種觀點都存在嚴重的問題。

我先來駁斥“0 個洞”觀點的支持者。有些東西即使不被移除任何部分，也可以產生洞。做百吉圈（一種硬麵包）時，我們並不是先做比亞利麵包卷，然後在中間打洞，而是先把麵團揉搓成蛇形，然後將其兩端相連，百吉圈就做成了。如果你否認百吉圈上有個洞，那麼毋庸置疑，你會遭到紐約、蒙特利爾和世界各地的任何一家正宗熟食店的嘲笑。

關於“2個洞”的觀點呢？這裡有一個問題要考慮：如果一根吸管上有2個洞，那麼其中一個洞的洞底在哪裡？另一個洞的洞口又在哪裡？如果你不介意，可以想像有人讓你數一塊瑞士乾酪上有多少個洞，你會分

別計數乾酪頂部的洞和底部的洞嗎？

或者，把吸管底端的洞堵住，這樣一來，“2 個洞”觀點的支持者所說的底端那個洞就消失了。從本質上講，現在這根吸管變成了一個又高又細的杯子。杯子上有洞嗎？是的，你會說它頂部的開口就是一個洞。好吧，如果這個杯子變得越來越短、越來越粗，終變成一個煙灰缸呢？當然，我們不會把煙灰缸的上緣稱作“洞”。但是，如果這個洞是在從杯子到煙灰缸的變化過程中消失的，那麼它到底是何時消失的呢？

你可能會說，煙灰缸上仍然有 1 個洞，因為它有一個凹陷處或一個負空間，那裡可以容納物質，但實際上沒有任何物質。你堅持認為洞不一定要“貫穿到底”，那你不妨“思考一下，我們說地上有個洞，是什麼意思呢？”。這是一個公平合理的反對理由，但我認為，如果我們在什麼算作洞的標準問題上過於寬鬆，而把任何凹陷都當成是洞，就會讓這個概念失去有效性。當你說水桶上有個洞時，你指的並不是它的底部有個凹陷處，而是它會漏水。同樣地，即使你在比亞利麵包卷上咬一口，它也不會變成百吉圈。

至此，還剩下“1個洞”的觀點，它是三個備選項中支持人數多的一個。現在，讓我來告訴你它有什麼問題。當我問我的朋友凱利關於吸管的問題時，她直截了當地否定了“1個洞”的觀點：“這是否意味著嘴巴和肛門是同一個洞？”（凱麗是一名瑜伽教練，所以她傾向於從解剖學的角度看問題。）毫無疑問，這是一個公平合理的問題。

但是，我們假設你有足夠的勇氣接受“嘴巴 = 肛門”這一等式。即便如此，挑戰依然存在。下面是那兩名大學生在Snapchat視頻中的一個場景（不過說實在的，你還是自己去看吧，我無法通過文字和舞台指示完美地呈現出他們怒氣越來越盛的過程），其中1號兄弟支持“1個洞”的觀點，2號兄弟則支持“2個洞”的觀點。

2號（拿起一個花瓶）：這上面有多少個洞？ 1個洞，對吧？

［1號默默地同意了。 ］

2號（拿起一個紙巾捲筒）：這上面有多少個洞？

1號：1個。

2號：理由呢？ （再次拿起那個花瓶）它們看上去一樣嗎？

1號：因為如果我在這裡（在花瓶底部做了一個手勢）打 1個洞，它還是只有 1個洞！

2號（被激怒了）：你剛才說，如果我在這裡打 1個洞。

［氣得直喘粗氣］

1號：如果我在這裡再打 1個洞，它就有……

2號：對——再打 1個洞，加上這個洞，共有 2個洞！到此為止吧！

在這個場景中，支持“2個洞”觀點的那位兄弟似乎表達了一個非常合情合理的原則：在某個物體上打一個新洞，洞的數量就應該增加一個。

我們再來看一個更難的題目：一條褲子上有多少個洞？大多數人給出的答案都是3個：褲腰上有1個洞，褲腿上有2個洞。如果你把褲腰縫合起來，就會得到一根由牛仔布做成的特大號吸管，上面還有一個彎兒。如果一開始有3個洞，你縫合其中的1個，應該還剩下2個而不是1個，對吧？

如果你堅持認為一根吸管上只有1個洞，那你也許會說一條褲子上只有2個洞。在你縫合褲腰之後，褲子上就只剩下1個洞了。這是我經常聽到的答案，但這個答案與“一根吸管上有2個洞”的觀點面臨著同樣的問題：如果一條褲子上有2個洞，它們在哪裡？其中一個洞的洞底和另一個洞的洞口又在哪裡？

或者，你可能認為一條褲子上只有1個洞，因為你所說的洞是指褲子內部的負空間區域。如果我把牛仔褲的膝蓋部位撕破，製造出一個新洞，這樣做會影響洞的數量嗎？你堅持認為不會，褲子上仍然只有1個洞，人為地把牛仔褲撕破不過是給那個洞製造了一個新的開口。縫合褲腰或堵住吸管底端，並不會讓洞消失，只是封閉了洞的出口或入口。

但這又把我們帶回到不得不說煙灰缸上有1個洞的問題。更糟糕的是，假設我有一個膨脹的氣球。根據你的說法，這個氣球上有1個洞，即氣球內部加壓空氣佔據的區域。如果我拿一根大頭針在氣球上戳一個洞，氣球就會爆炸，只留下一個橡膠圓盤，也許上面還有一個結，但顯然沒有洞。也就是說，某個東西上本來有1 個洞，你又在上面戳了1個洞後，它反而一個洞也沒有了。

你現在感到迷惑不解了嗎？我希望如此！數學無法確切地回答這個問題，因為它不能告訴你“洞”的詞義（這取決於你和你使用的語言）。但它會告訴你有哪些意思是你能夠表達的，這樣至少可以避免你被自己的假設絆倒。

讓我用一個富有哲理的口號開啟我們的討論吧：一根吸管上有2個洞，但它們是同一個洞。

《黑天鵝》作者納西姆·尼古拉斯·塔勒布對這本書的評價是：“高能預警：這是一本危險的書。它會讓你愛上數學，甚至有可能把你變成一位數學家。”

是的，這是一本關於微積分如何幫助人類探索自然和世界、展開科技發明和創新，從而推動人類文明進程的科普讀物，它也是一本講述阿基米德、畢達哥拉斯、牛頓、伽利略、開普勒等鼎鼎有名的人物如何解開了曲線之謎、運動之謎和變化之謎的科學史著作。

在人類文明進程中的這些具有里程碑意義的發明和發現背後，微積分究竟扮演了什麼樣的角色？圍繞曲線之謎、運動之謎和變化之謎，畢達哥拉斯、阿基米德、伽利略、開普勒、牛頓、萊布尼茨、愛因斯坦、薛定諤等如何用微積分的“鑰匙”打開了宇宙奧秘之“鎖”？這些謎題的解決方案對人類文明的進程和我們的日常生活又產生了什麼樣的深遠影響？

在《微積分的力量》書中，應用數學家兼“導遊”斯託加茨將用一種“講故事”和“看展覽”的方式為你一一揭曉答案。 “我們不必為了理解微積分的重要性而學習如何做運算，就像我們不必為了享用美食而學習如何做佳餚一樣。我將藉助圖片、隱喻和趣聞逸事等，嘗試解釋你們需要了解的關於微積分的知識。我也會給你們介紹有史以來頗為精緻的一些方程和證明，就像我們在參觀畫展的時候不會錯過其中的代表作一樣。”

因此，哪怕你對數學及其在這個世界上扮演的角色只有一點點好奇心，也請你讀讀這本令人驚嘆的書。教師、學生、你和我，都會因為這本書而受益匪淺。

微積分是人類歷史上的偉大思想成就之一，也是數學領域不可或缺的一個重要分支。除此之外，我們更應該關注的事實是：如果沒有微積分，人類就不可能發明電視、微波爐、移動電話、GPS、激光視力矯正手術、孕婦超聲檢查，也不可能發現冥王星、破解人類基因組、治療艾滋病，以及弄明白如何把5 000首歌曲裝進口袋裡。

在人類文明進程中的這些具有里程碑意義的發明和發現背後，微積分究竟扮演了什麼樣的角色？圍繞曲線之謎、運動之謎和變化之謎，畢達哥拉斯、阿基米德、伽利略、開普勒、牛頓、萊布尼茨、愛因斯坦、薛定諤等如何用微積分的“鑰匙”打開了宇宙奧秘之“鎖”？這些謎題的解決方案對人類文明的進程和我們的日常生活又產生了什麼樣的深遠影響？

在《微積分的力量》書中，應用數學家兼“導遊”斯託加茨將用一種“講故事”和“看展覽”的方式為你一一揭曉答案。 “我們不必為了理解微積分的重要性而學習如何做運算，就像我們不必為了享用美食而學習如何做佳餚一樣。我將藉助圖片、隱喻和趣聞逸事等，嘗試解釋你們需要了解的關於微積分的知識。我也會給你們介紹有史以來頗為精緻的一些方程和證明，就像我們在參觀畫展的時候不會錯過其中的代表作一樣。”

美國康奈爾大學應用數學系教授、知名教師和數學家。他為《紐約時報》《紐約客》寫作數學博客，也是美國科普電台、《科學星期五》的常駐嘉賓。他的主要代表作有《x的奇幻之旅》。他目前住在紐約伊薩卡。

引言　　　//  001

寫給每個人的微積分讀物 // 002

由微積分主宰的世界 // 004

微積分不只是一種語言 // 006

不合理的有效性 // 007

無窮原則 // 008

石巨人與無窮 // 010

曲線、運動和變化 // 011

第1章 無窮的故事 // 019

作為橋樑的無窮 // 023

比薩證明 // 024

極限與牆之謎 // 028

0.333…的故事 // 030

無窮多邊形的故事 // 032

無窮的魅力和危險 // 033

除數為 0 的禁忌 // 034

實無窮之罪 // 036

芝諾悖論 // 037

芝諾悖論走向數字化 // 040

當芝諾悖論遇上量子力學 // 042

第2章 駕馭無窮的勇士 // 047

夾逼法與圓周率 // 051

圓周率之道 // 055

立體主義與微積分 // 057

奶酪論證 // 062

阿基米德方法 // 065

從計算機動畫到面部手術 // 074

探索運動之謎 // 079

第3章 運動定律的探索之旅 // 081

亞里士多德的世界觀 // 084

伽利略出場 // 088

下落、滾動與奇數定律 // 090

科學極簡主義的藝術 // 093

從擺動的吊燈到GPS // 095

開普勒與行星運動之謎 // 102

開普勒定律：橢圓軌道 // 105

開普勒第二定律：相等的時間，相等的面積 // 107

開普勒第三定律：行星的公轉週期 // 109

開普勒與伽利略的異同點 // 110

陰雲密布 // 112

第4章 微分學的黎明 // 115

代數在東方的崛起 // 118

代數的興起與幾何學的衰落 // 119

代數與幾何學的邂逅 // 121

方程與曲線 // 124

在一起，會更好 // 126

費馬vs笛卡兒 // 126

尋找失傳已久的發現方法——分析 // 129

行李箱的優化問題 // 131

費馬如何幫助了美國聯邦調查局？ // 135

短時間原理 // 142

關於切線的爭論 // 146

近在眼前的應許之地 // 149

第5章 微積分的十字路口 // 151

函數的作用 // 155

冪函數 // 156

指數函數 // 157

10 的次方 // 158

對數 // 161

自然對數及其指數函數 // 164

指數增長與指數式衰減的機制 // 167

第6章 變化率和導數 // 171

微積分的三大核心問題 // 175

線性函數及其恆定的變化率 // 178

非線性函數及其不斷變化的變化率 // 182

作為晝長變化率的導數 // 186

作為瞬時速度的導數 // 191

第7章 隱秘的源泉 // 199

面積、積分和基本定理 // 202

運動使基本定理更直觀 // 203

恆定的加速度 // 206

用油漆滾筒證明基本定理 // 210

基本定理的意義 // 213

積分學的聖杯 // 214

局部vs整體 // 219

一個孤寂的男孩 // 221

玩轉冪級數 // 223

混搭大師 // 228

私密的微積分 // 229

第8章 思維的虛構產物 // 233

眨眼之間 // 237

無窮小量 // 238

2.001 的立方 // 240

微分 // 242

微分求導法 // 243

通過微分推導出基本定理 // 245

萊布尼茨是如何發現微分和基本定理的？ // 248

在微積分的幫助下對抗HIV // 255

第9章 宇宙的邏輯 // 263

自然的邏輯 // 267

二體問題 // 272

牛頓力學與《隱藏人物》 // 275

牛頓微積分與《獨立宣言》 // 276

連續體與離散集 // 278

常微分方程與偏微分方程 // 279

偏微分方程與波音 787 客機 // 282

無處不在的偏微分方程 // 285

第10 章 波、微波爐和腦成像 // 287

弦理論 // 292

為什麼是正弦波？ // 296

振動模態的可視化：克拉德尼圖形 // 299

值得尊崇的勇氣 // 301

微波爐 // 302

為什麼微波爐初被稱作雷達灶？ // 303

CT與腦成像 // 304

第11 章 微積分的未來 // 311

DNA的纏繞數 // 315

決定論及其局限性 // 318

非線性 // 320

混沌 // 322

龐加萊圖 // 324

走上戰場的非線性 // 326

微積分與計算機聯盟 // 327

複雜系統與高維詛咒 // 328

計算機、人工智能和洞察力之謎 // 332

結語　　　//  337

小數點後 8 位 // 337

發現正電子 // 339

可以理解的宇宙 // 341

致謝　　　//  345

註釋　　　//  349

沒有微積分，我們就不會擁有手機、計算機和微波爐，也不會擁有收音機、電視、為孕婦做的超聲檢查，以及為迷路的旅行者導航的GPS（全球定位系統）。我們更無法分裂原子、破解人類基因組或者將宇航員送上月球，甚至有可能無緣於《獨立宣言》。

有一種罕見而有趣的歷史觀點認為，世界被一個神秘的數學分支徹底改變了。一個初與形狀相關的理論，終又如何重塑了文明？

我們可以從物理學家理查德·費曼的一句妙語中洞見這個問題的答案，這句話是他在與小說家赫爾曼·沃克討論曼哈頓計劃時說的。當時沃克正在為他計劃寫作的一部關於“二戰”的長篇小說做調研，他去加州理工學院採訪了參與過原子彈研發的物理學家，費曼就是其中之一。採訪結束臨別之際，費曼問沃克是否了解微積分。沃克坦承他並不了解，於是費曼說道：“你好學學微積分，它是上帝的語言。”

宇宙是高度數學化的，但原因尚無人知曉。這或許是包含我們在內的宇宙的可行的存在方式，因為非數學化的宇宙無法庇護能夠提出這個問題的智慧生命。無論如何，一個神秘且不可思議的事實是，我們的宇宙遵循的自然律終總能用微積分的語言和微分方程的形式表達出來。這類方程能描述某個事物在這一刻和在下一刻之間的差異，或者某個事物在這一點和在與該點無限接近的下一個點之間的差異。儘管細節會隨著我們探討的具體內容而有所不同，但自然律的結構總是相同的。這個令人驚嘆的說法也可以表述為，似乎存在著某種類似宇宙密碼的東西，即一個能讓萬物時時處處不斷變化的操作系統。微積分利用了這種規則，並將其表述出來。

艾薩克·牛頓是早瞥見這一宇宙奧秘的人。他發現行星的軌道、潮汐的韻律和砲彈的彈道都可以用一組微分方程來描述、解釋和預測。如今，我們把這些方程稱為牛頓運動定律和萬有引力定律。自牛頓以來，每當有新的宇宙奧秘被揭開，我們就會發現同樣的模式一直有效。從古老的土、空氣、火和水元素到新近的電子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有無生命的東西都遵從微分方程的規則。我敢打賭，這就是費曼說“微積分是上帝的語言”時想要表達的意思。如果有什麼東西稱得上宇宙的奧秘，那麼非微積分莫屬。

人類在不經意間發現了這種奇怪的語言（先是在幾何學的隱秘角落裡，後來是在宇宙密碼中），然後學會熟練地運用它，並破譯了它的習語和微妙之處，終利用它的預測能力去重構世界。

這是本書的中心論點。

如果這個論點是正確的，那麼它意味著關於生命、宇宙和萬物的終極問題的答案並不是42，為此我要向道格拉斯·亞當斯和《銀河系漫遊指南》的粉絲致歉。但“深思”（《銀河系漫遊指南》中的一台超級計算機）的解題思路是正確的，因為宇宙的奧秘確實是一系列數學問題。

費曼的那句“微積分是上帝的語言”的妙語，引出了許多深奧的問題。什麼是微積分？人類如何斷定它是上帝的語言（或者說，宇宙基於這種語言在運轉）？什麼是微分方程？在牛頓的時代和我們的時代，微分方程為世界帶來了什麼？後，這些故事和觀點如何能被有趣且清楚易懂地傳達給像赫爾曼·沃克那樣的友善讀者呢，他們勤於思考、充滿好奇心、知識淵博但幾乎沒有學過高等數學？

沃克在他與費曼邂逅故事的結尾部分寫道，他在14 年裡始終沒有抽出時間學習微積分。他的關於“二戰”的長篇小說從原計劃的一部變成了兩部——《戰爭風雲》和《戰爭與回憶》，每部都長達1 000 頁左右。在完成這兩部小說後，他試圖通過閱讀像《微積分一點通》這樣的書自學微積分，但效果並不好。他翻閱了幾本教科書，用他自己的話說，就是希望“遇到一本合適的書，它可以幫助像我這樣對數學幾乎一竅不通

的人。我在青少年時期產生了探尋存在之意義的渴求，大學期間就只學習了文學與哲學等人文學科，所以我並不知道別人口中艱澀、無趣、毫無用處的微積分竟然是上帝的語言”。在發現自己看不懂教科書之後，他聘請了一位以色列的數學家教，希望能跟著他學點兒微積分，順便提升一下希伯來語口語水平，但這兩個願望都落空了。後，絕望的他旁聽了高中的微積分課程，但因為進度落後太多，幾個月後他不得不放棄。在他走出教室時，孩子們一起為他鼓掌，他說這就像對一場可憐的表演報以同情的掌聲。

我之所以寫作本書，就是為了讓每個人都能了解關於微積分的精彩的思想和故事。我們沒必要採用赫爾曼·沃克的方法去學習人類歷史上這個具有里程碑意義的學科，儘管微積分是人類啟迪性的集體成就之一。我們不必為了理解微積分的重要性而學習如何做運算，就像我們不必為了享用美食而學習如何做佳餚一樣。我將藉助圖片、隱喻和趣聞逸事等，嘗試解釋我們需要了解的一切。我也會給你們介紹有史以來

精緻的一些方程和證明，就像我們在參觀畫廊的時候不會錯過其中的代表作一樣。至於赫爾曼·沃克，在我寫作本書的時候，他已經103 歲了。我不知道他有沒有學會微積分，如果還沒有，這本書就很適合沃克先生。

現在你應該很清楚，我將從應用數學家的角度講述微積分的故事和重要性。而數學史家則會選擇不同的角度，純粹數學家亦然。作為一名應用數學家，真正吸引我的是我們周圍的現實世界和我們頭腦中的理想世界之間的相互作用。外界的現象引導著我們提出數學問題；反過來，我們的數學想像有時也會預言現實世界中的事情。當這一切真正發生時，將會產生不可思議的效果。

要想成為一位應用數學家，既要有外向型思維，又要有廣博的知識。對我們這個領域的人來說，數學並不是一個由自我附和的定理和證明構成的原始、封閉的世界。 7 我們會欣然接受各種各樣的學科：哲學，政治學，科學，歷史，醫學，等等。所以，我想給大家講述的故事是：由微積分主宰的世界。

這是一種比以往更寬泛的微積分觀，包含了數學和相鄰學科中的許多分支，它們要么是微積分的“表兄弟”，要么是微積分的“副產品”。因為這種“大帳篷”觀是非常規的，所以我要確保它不會造成任何混淆。比如，我在前文中說過，如果沒有微積分，我們就不會擁有電腦和手機等，我的意思當然不是說微積分本身創造了所有這些奇蹟。事實遠非如此，科學和技術是必不可少的搭檔，或者可以說是這齣大戲的主角。我只想說，儘管微積分往往扮演的是配角，但也為塑造我們今天的世界做出了重要貢獻。

以無線通信的發展史為例。它開始於邁克爾·法拉第和安德烈·瑪那些關於磁體、電流及其不可見力場的重要事實將仍不為人所知，無線通信的可能性也永遠無法實現。所以，實驗物理學在這裡顯然起到了不可或缺的作用。

但是，微積分同樣很重要。 19 世紀60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的蘇格蘭數學物理學家，將電磁場的基本實驗定律改寫為一種可進行微積分運算的符號形式。經過一番變換，他得到了一個毫無意義的方程，顯然有某種東西缺失了。麥克斯韋懷疑安培定律是罪魁禍首，並嘗試修正它，於是他在自己的方程中加入了一個新項——可以化解矛盾的假想電流，然後又利用微積分做了一番運算。這次他得到了一個合理的結果——一個簡潔的波動方程9，它與描述池塘中漣漪擴散的方程很像。只不過麥克斯韋方程還預言了一種新波的存在，這種波是由相互作用的電場和磁場產生的。一個變化的電場會產生一個變化的磁場，一個變化的磁場又會產生一個變化的電場，以此類推，每個場都會引導另一個場向前運動，一起以行波的形式向外傳遞能量。當麥克斯韋計算這種波的速度時，他發現它是以光速運動的，這是歷令人驚喜的時刻之一。因此，他不僅利用微積分預測出電磁波的存在，還解開了一個古老的謎題：光的性質是什麼？他意識到，光就是一種電磁波。

麥克斯韋的電磁波預測促使海因里希·赫茲在1887 年做了一項實驗，從而證明了電磁波的存在。 10 年後，尼古拉·特斯拉建造了個無線電通信系統；又過了5 年，伽利爾摩·馬可尼發送了份跨越大西洋的無線電報。接下來，電視、手機和其他設備也陸續出現了。

顯然，微積分不可能獨立做到這一切。但同樣顯而易見的是，如果沒有微積分，這一切就不會發生。或者更準確地說，即時有可能，也要很久之後才會實現。

1. 榮獲美國數學協會歐拉數學著作獎

2. 美國數學協會會長誠摯之作，以新的視角，重新發現數學之美

3. 學習數學，就是學著做難而正確的事；學習數學，讓我們成為更好的人

4. 轉變數學認知，培育數學思維，從害怕數學到愛上數學

5. 人教A版《普通高中教科書·數學》主編，中國教育學會中學數學教學專業委員會理事長章建躍；華東師範大學數學科學學院教授，全國義務教育《數學課程標準》和《高中數學課程標準》修訂組成員鮑建生；華東師範大學數學科學學院特聘教授，亞洲數學教育中心主任，浙教版義務教育教科書·數學主編范良火；新東方教育科技集團董事長俞敏洪；寧波大學教授，全國數學教育研究會副秘書長邵光華；浙江省杭州第二中學原校長，正高級數學特級教師尚可；清華大學附屬中學副校長，中學數學著名特級教師趙鴻雁；澳門教業中學校長，中國教育學會小學專委會副理事長賀誠；北京第二實驗小學副校長，小學數學特級教師華應龍；經濟學家向松祚；上海高級金融學院副院長朱寧聯袂推薦。

數學作為重要的基礎學科，是我們面向未來的重要工具和能力。但問題是，我們如何擺脫數學學習的枯燥甚至是畏難情緒，提升數學教育的質量，真正地享受數學，熱愛數學，並願意鑽研數學。

《數學的力量》以誠摯的語言告訴我們，學好數學實際上是人類的天性，只是很多人都被埋沒了。數學中蘊含著意義、美、探索、自由、真理、奮斗等各種優秀的品格，和我們個體的內在追求是高度契合的。我們每個人實際上都可以發現數學之美，感受數學之樂，重要的是通過正確的方式去喚醒它們。

這是一本契合時代的動人之作，希望每個人都可以從中看到不一樣的數學，轉變數學認知，重塑數學思維。

畢業於哈佛大學。美國文理工程學院——哈維·穆德學院（Harvey Mudd College）教授。 2015—2016 年擔任美國數學協會（MAA）會長，是該協會百年來首位華裔會長。 2013年，榮獲海默教學獎（Haimo Award），這是一個面向大學數學教師的全國性教學獎；2018年，榮獲哈爾莫斯-福特寫作獎（Halmos-Ford writing award）。

本書的底稿來源於其2017年卸任美國數學協會會長的演講，當時令眾多聽眾動容並引發共鳴，同時得到了美國著名雜誌《連線》《量子雜誌》的報導，在社會上產生了很大的反響。

推薦序1：一本改變你對數學看法的書（章建躍：人教A版《普通高中教科書·數學》主編）

推薦序2：促進人類繁榮的數學（鮑建生：全國義務教育《數學課程標準》和《高中數學課程標準》修訂組成員）

前言 

第一章 繁榮 

第二章 探索 

第三章 意義 

第四章 遊戲 

第五章 美 

第六章 永恆 

第七章 真理 

第八章 奮鬥 

第九章 力量 

第十章 公正 

第十一章 自由 

第十二章 集體 

第十三章 愛 

後記 

致謝 

各章節的拓展與補充 

解題思路與參考答案 

註釋

章建躍 | 人教A版《普通高中教科書·數學》主編，中國教育學會中學數學教學專業委員會理事長

用當下流行的說法，本書中“金句”很多，其中的觀點觸及數學的本質和人類個體的靈魂，不僅發人深省，而且可以改變我們對數學的看法，值得廣大讀者深入挖掘。

鮑建生 | 華東師範大學數學科學學院教授，全國義務教育《數學課程標準》和《高中數學課程標準》修訂組成員

是時候稍稍停下我們匆匆的腳步，從無盡的題海中解脫出來，想想我們的數學教育、我們的孩子。正像弗朗西斯•蘇在書中所呼籲的，我們應該給數學一些自由：知識的自由、探索的自由、理解的自由、想像的自由。

范良火 | 華東師範大學數學科學學院特聘教授，亞洲數學教育中心主任，浙教版義務教育教科書·數學主編

這本書很值得數學和數學教育工作者、特別是數學教師一讀。作者從人類、人性、哲學、美與美德等廣泛的視角闡述數學之於個人和人類社會的意義，富有啟發性和獨創性。這也是一本對豐富和反思當今數學教育的理論和實踐非常有益的書。

俞敏洪 | 新東方教育科技集團董事長

《數學的力量》讓我重新審視了數學學習在我們個人和社會發展中的巨大作用，尤其是其中展示的數學的美德與美好，讓我有種原來還可以這樣看數學的感覺。誠摯地向大家推薦這本書，希望大家都可以愛上數學，並磨煉成為更好的人。

邵光華 | 寧波大學教授，全國數學教育研究會副秘書長

這是一本闡明數學之於個體作為一個人的意義，以及如何讓人生更為豐沛的書。作者希望將閱讀此書作為一份邀請，來探討如何以一種新的方式進行數學的想像和遐思。

尚可 | 浙江省杭州第二中學原校長，正高級數學特級教師

這是這個時代重要的一本博大精深的數學著作。全新角度的寓言、謎題、體驗和思考展示了數學對正義、自由和愛等促進人類繁榮的美德的培養作用。

趙鴻雁 | 清華大學附屬中學副校長，中學數學特級教師

在教育面臨重大變革的當今，非常願意推薦這樣一本通過數學探尋人類美德的心靈讀本。它通過闡明數學之於個體的意義，幫助大家體會數學的寶貴，探索如何讓更多人借助數學讓人生更豐沛充實。讓我們在充滿挑戰的環境中，也保持人格正直、心靈美好。

賀誠 | 澳門教業中學校長

數學家弗朗西斯·蘇認為：一個沒有數學情感的社會，就像一個沒有音樂會、公園或博物館的城市。錯過數學就意味著未曾經歷人類那些美麗的思想。他相信：數學能讓我們成為更好的人。

華應龍 | 北京第二實驗小學副校長，小學數學特級教師

我被這本引人入勝、發人深省、沁人心脾的書給迷住了，尤其是每章後那個激趣引智、蘊含洞見的謎題，令我欲罷不能！

向松祚 | 經濟學家，大灣區金融研究院院長

數學為何如此之神，如此之奇，如此之美，如此之妙？弗朗西斯•甦的這本著作以動人的故事，活潑的語言，有趣的分析給出了他的答案。更重要的是，這本書令人信服地告訴我們，學習數學可以讓我們的人生更有意義，讓我們的生命更為豐富，讓我們能夠成為更好的人。你不相信嗎？那就請細細品味這本書，你會時時感受到驚喜和愉快，也會引起你的遐思和冥想。

朱寧 | 上海高級金融學院副院長

數學是人類對於大自然秩序的抽象精準表達，也是人類理性思考的基礎。 《數學的力量》一書更進一步把自然規律和人生哲學聯繫在一起，是一部引人入勝的佳作，很值得一讀。

本書的主要目的並不是向大家展示數學有多麼偉大，儘管它的確是一顆光彩照人的人類智慧之結晶。本書的重點也不是告訴大家數學是多麼，儘管它的實際應用的確數不勝數。我之所以寫下這些文字，其實是想和大家一同探尋數學在人生中的意義，以及如何才能在數學的陪伴下讓生活變得更加充實。

2017 年 1 月，在即將卸任美國數學協會（MAA）會長之際，我做了一次告別演說，本書便是對演說內容的補充和拓展。儘管演說的聽眾大多是數學專業人士，但這次演說的主題其實適用於每個人，聽眾的共鳴程度也讓我始料未及。看到來自聽眾的熱烈反響，我深深地意識到，包括那些靠數學謀生的專業人士在內，大家都想聊一聊對 共同利益的期望，以及讓自己成為更優秀的人的辦法。在演說內容被《量子雜誌》（Quanta Magazine ）和《連線》（Wired ）報導之後，我收到了大量讀者來信，這些信件讓我意識到大家對數學的理解和體驗與我很相似：不得要領的時候會心煩意亂，一旦豁然開朗又恨不得手舞足蹈。

為了讓每個人都能從本書中有所收穫，在寫作之初我就已經充分考慮了各種不同的潛在讀者群體——哪怕你覺得自己對數學興趣寥寥，也不妨試著往下讀一讀。至於怎樣才能讓你站在數學的角度認知自我，我想好的方式不是向你證明數學的偉大之處或奇妙所在，而是讓你看清數學和人生之間千絲萬縷的聯繫。如此一來，埋藏在你內心深處的原始渴求便能讓你發現自己與生俱來的數學天性——你需要做的只是去喚醒它。

閱讀本書並不需要讀者有多麼豐富的知識背景，畢竟每個人都有不同的學習經歷，對數學的理解程度也不盡相同，大家完全不必有任何顧慮。我會在各章節中穿插一些數學思想，盡量將它們和大家所熟知的事物聯繫起來，好讓各位有一種在閒聊哲學、音樂、體育時那種輕鬆愜意的感覺。也許有些讀者閱讀此書不是為了自己，而是為了身邊某位正在學習數學的人，為此我也會時不時地站在教育者的角度給出一些教學建議。我衷心希望每一位讀者都能在本書的陪伴下打開通向數學殿堂的大門，將其中的奇思妙想變成日常的談資——無論是在家人之間，還是在師生之間，抑或是親朋之間——讓大家共同發掘更多隱藏在數學之中的真善美。