【代數拓撲同調論】

【內容簡介】

全書共分2章.第1章介紹複形的單純同調群. 應用“擠到邊上去”的方法計算了大量典型複形的同調群，證明了單純同調群的重分不變性、拓撲不變性和倫型不變性.應用線性代數和抽象代數知識給出了有限複形的整單純同調群的結構定理. 應用單純同調群證明了Sn-1不是Bn的收縮核及其等價的Brouwer不動點定理，從而證明了艱難的Jordan分割定理和Jordan曲線定理，進而給出了正合單純下同調序列和正合單純上同調序列.第2章介紹拓撲空間的奇异同調群.證明了奇异下（上）同調群的倫型不變性. 應用圖表追跡法證明了奇异下（上）同調序列的正合性，還證明了MayerVietoris序列的正合性.定理2.8.1給出了奇异上同調群的萬有係數定理，定理2.8.10給出了奇异下同調群的萬有係數定理，這表明以任意交換群為係數群的奇异同調群完全由其整奇异下同調群决定.關於多面體， 2.2節證明了它的單純下同調群與奇异下同調群是同構的.根據定理2.2.3、定理2.8.1、定理2.8.10以及定理1.4.4，有限多面體的下（上）同調群必為G，Gn，nG型的有限直和.2.9節給出了Euler.Poincaré示性數的各種公式表示和大量有價值的應用.2.10節證明了代數拓撲映射度與微分拓撲映射度相等， 給出了Hopf分類定理和與度有關的大量命題.

本書可作為高等院校數學系高年級大學生、研究生的代數拓撲教材或教師教學參考書，也可供數學研究工作者閱讀.

【目錄】

序言001

前言003

第1章

單純同調群001

11單純複形、多面體和單純下同調群002

1.2單純下同調群典型例題的計算013

1.3單純下同調群的重分不變性、拓撲不變性與倫型不變性041

1.4單純複形整下同調群的結構071

1.5Urysohn引理與Tietze擴張定理、收縮核與鄰域收縮核085

1.6連續映射的同倫與拓撲空間的倫型、可縮空間、Sn-1不為Bn的收縮核、Brouwer不動點定理的各等價命題097

1.7Jordan分割定理、Jordan曲線定理110

1.8單純上同調群、相對單純下（上）同調群、切除定理、正合單純下（上）同調序列

第2章

奇异同調群147

2.1奇异下同調群的拓撲不變性與倫型不變性149

2.2奇异鏈的重心重分、覆蓋定理、多面體的單純下同調群與奇异下同調群的同構定理162

2.3相對奇异下同調群的倫型不變性定理176

2.4奇异上同調群的倫型不變性定理、相對奇异上同調群的倫型不變性定理181

2.5正合奇异下（上）同調序列189

2.6切除定理215

2.7MayerVietoris序列及其應用225

2.8奇异下（上）同調群的萬有係數定理237

2.9EulerPoincaré示性數及其應用276

2.10代數拓撲映射度與微分拓撲映射度、Hopf分類定理294

2.11有關同調群的重要成果313

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【同倫論】

【內容簡介】本書是代數拓撲中同倫論的基礎，共分2章.第1章給出了n維同倫群及其交替描述.第2章引入相對同倫群，證明了同倫群的倫型不變性定理和同倫序列的正合性，給出了同倫群的直和分解定理，列舉了大量同倫群的實例，並證明了Hurewicz定理.

【目錄】

序言001

前言003

第1章n維同倫群001

1.1n維同倫群的定義001

1.2同倫群的交替描述012

第2章同倫群的倫型不變性、正合同倫序列030

2.1相對同倫群030

2.2正契约倫序列038

2.3同倫群的直和分解定理046

2.4Hurewicz定理058

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【古典微分幾何】

【內容簡介】

全書共3章. 第1章討論了曲線的曲率、撓率、Frenet公式、Bouquet公式等局部性質，證明了曲線論的基本定理，還討論了曲線的整體性質：4頂點定理、Minkowski定理、Fenchel定理以及FaryMilnor關於紐結的全曲率不等式. 第2章引入了曲面第1基本形式、曲面第2基本形式、Gauss（總）曲率、平均曲率、Weingarten映射、主曲率、曲率線、測地線等重要概念，給出了曲面的基本公式和基本方程、曲面論的基本定理以及的Gauss絕妙定理等曲面的局部性質. 第3章詳細論述了曲面的整體性質，得到了全臍超曲面定理、球面的剛性定理、極小曲面的Bernstein定理、的GaussBonnet公式以及Poincaré名額定理.

【目錄】

言001

前言003

第1章曲線論00

1.1Cr正則曲線、切向量、弧長參數00

1.2曲率、撓率00

1.3Frenet標架、Frenet公式0

1.4Bouquet公式、平面曲線相對曲率0

1.5曲線論的基本定理0

1.6曲率圓、漸縮線、漸伸線0

1.7曲線的整體性質（4頂點定理、Minkowski定理、Fenchel定理）

第2章Rn中k維Cr曲面的局部性質0

2.1曲面的參數表示、切向量、法向量、切空間、法空間0

2.2旋轉面（懸鏈面、正圓柱面、正圓錐面）、直紋面、可展曲面（柱面、錐面、切線面）

2.3曲面的第1基本形式與第2基本形式

2.4曲面的基本公式、Weingarten映射、共軛曲線網、漸近曲線網

2.5法曲率向量、測地曲率向量、Euler公式、主曲率、曲率線

2.6Gauss曲率（總曲率）KG、平均曲率H

2.7常Gauss曲率的曲面、極小曲面（H=0）

2.8測地曲率、測地線、測地曲率的Liouville公式

2.9曲面的基本方程、曲面論的基本定理、Gauss絕妙定理

2.10Riemann流形、LeviCivita聯絡、向量場的平行移動、測地線

2.11正交活動標架

第3章曲面的整體性質

3.1緊致全臍超曲面、球面的剛性定理

3.2極小曲面的Bernstein定理

3.3GaussBonnet公式

3.42維緊致定向流形M的Poincaré切向量場名額定理

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【近代微分幾何】

【內容簡介】

本書前3章主要介紹了Riemann流形、Riemann聯絡、Riemann截曲率、Ricci曲率和數量曲率，詳細論述了全測地、全臍點和極小子流形等重要內容.此外，還應用變分Jacobi場討論了測地線、極小子流形的長度與體積的極小性.在證明了Hodge分解定理之後，論述了LaplaceBeltrami運算元 Δ 的特徵值估計以及譜理論.進而，介紹了Riemann幾何中重要的Rauch比較定理、Hessian比較定理、Laplace比較定理和體積比較定理.作為比較定理的應用，我們有的拓撲球面定理.這些內容可視作近代微分幾何的基礎知識.在敘述時，我們同時採用了不變觀點（映射觀點、近代觀點）、 座標觀點（古典觀點）和活動標架法.無疑，這些對閱讀文獻和增强研究能力會起很大作用.第4章、第5章是作者關於特徵值的估計和等譜問題、曲率與拓撲不變數等方面部分論文的彙集，將引導讀者如何去閱讀文獻，如何去作研究，以及如何取得高水准的成果。

本書可作為理科大學數學系幾何拓撲方向碩士生、博士生的參考書，也可作為相關數學研究人員的參考書.

【目錄】

序言001

前言003

第1章LeviCivita聯絡和Riemann截曲率00

1.1向量叢上的線性聯絡00

1.2切叢上的線性聯絡、向量場的平移和測地線0

1.3LeviCivita聯絡和Riemann流形基本定理0

1.4Riemann截曲率、Ricci曲率、量曲率和常截曲率流形0

1.5C∞浸入子流形的Riemann聯絡0

1.6活動標架0

1.7C∞函數空間C∞（M，R）=C∞（∧0M）=F0（M）上的Laplace運算元 Δ

1.8全測地、極小和全臍子流形

1.9Euclid空間和Euclid球面中的極小子流形

1.10指數映射、Jacobi場、共軛點和割迹

1.11長度和體積的第1、第2變分公式

第2章Laplace運算元 Δ 的特徵值、Hodge分解定理、譜理論和等譜問題

2.1星運算元、上微分運算元 δ、 微分形式Fs（M）=C∞（∧sM）上的Laplace運算元 Δ

2.2Hodge分解定理

2.3不可定向緊致C∞Riemann流形的Hodge分解定理

2.4Laplace運算元 Δ 的特徵值

2.5主特徵值的估計

2.6等譜問題

第3章Riemann幾何中的比較定理

3.1Rauch比較定理、Hessian比較定理、Laplace運算元比較定理、體積比較定理

3.2拓撲球面定理

第4章特徵值的估計和等譜問題的研究

4.1緊致Riemann流形上第1特徵值的估計

4.2關於Laplace運算元的大特徵值

4.3緊致流形的Laplace運算元的譜

4.4球面上緊致子流形的等譜問題

4.5Clifford超曲面Mn1，n2的譜

4.6緊致極小超曲面上Laplace運算元的譜

4.7緊致超曲面上Laplace運算元的譜

第5章曲率與拓撲不變數

5.1具有非負Ricci曲率和大體積增長的開流形

5.2完備非緊流形上射線的excess函數

5.3具有非負Ricci曲率的開流形的拓撲

5.4具有非負曲率完備流形的體積增長及其拓撲

5.5小excess與開流形的拓撲

5.6曲率下界與有限拓撲型

5.7excess函數的一個應用

5.8小excess和Ricci曲率具有負下界的開流形的拓撲

5.9具有非負Ricci曲率的開流形的基本群（Ⅰ）

5.10具有非負Ricci曲率的開流形的基本群（Ⅱ）

5.11漸近非負Ricci曲率和弱有界幾何的完備流形

5.12曲率與Betti數

5.13球面同倫群的伸縮不變數

5.14積分Ricci曲率有下界對基本群和第1 Betti數的限制

5.15具有有限調和名額的極小超曲面

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【微分拓撲】

【內容簡介】

本書主要介紹微分拓撲中的一些重要定理； 映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理； Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom橫截性定理； 管狀鄰域定理、Brouwer度的同倫不變性定理、Hopf分類定理； Morse理論、用臨界值刻畫流形的同倫型和Morse不等式以及Poincaré-Hopf指數定理； de Rham同構是理. 這些定理在微分拓撲、微分幾何、微分方程和理論物理等學科中都有廣泛的應用. 無疑，閱讀本書可使讀者具有良好的近代數學修養並增强獨立研究的能力.

本書可作為理科大學數學系大學生、研究生的教科書或物理系研究生相關課程的教科書和自學參考書.

【目錄】

序言001

前言003

第1章映射空間Cr（M，N）的强Cr拓撲下映射的逼近與光滑化、流形的光滑化

1.1微分流形、微分映射、組織分解

1.2切叢、張量叢、外形式叢、外微分形式的積分、Stokes定理

1.3映射空間Cr（M，N）上的弱與强Cr拓撲

1.4映射空間C∞（M，N）上的弱與强C∞拓撲

1.5映射的逼近

1.6映射的光滑化與流形的光滑化

第2章MorseSard定理、Whitney嵌入定理和Thom橫截性定理

2.1MorseSard定理

2.2Whitney嵌入定理

2.3Thom橫截性定理

第3章管狀鄰域定理、Brouwer度與Hopf分類定理

3.1Grassmann流形與管狀鄰域定理

3.2連續映射的Brouwer度

3.3Hopf分類定理

第4章Morse理論、PoincaréHopf指數定理

4.1Morse引理與PoincaréHopf指數定理

4.2用臨界值刻畫流形的同倫型238

4.3Morse不等式

第5章de Rham同構定理

5.1de Rham上同調群

5.2整奇异同調群和實奇异上同調群5.3de Rham同構定理