★他是首位獲得“數學界的諾貝爾獎”菲爾茲獎的華人數學家。

也是站在數學之巔，攬括全球數學界獎盃的大滿貫得主。

《紐約時報》盛譽他爲“數學皇帝”

著名數學家辛格說：“在哈佛，丘成桐一個人就是一個數學系。”

★他27歲時證明卡拉比猜想，使我們對宇宙模型的思考從四維上升至十維空間，極大擴展了人類探索宇宙奧祕的無垠疆域。

★本書是丘成桐首次深入闡明自己科學成就的思想源泉。

★集結丘成桐數學生涯中多篇重量級講稿及訪談、專欄、論文，是作者跨越50年溝通數理與人文的思考菁華。

★作者人文底蘊深厚，詩詞歌賦信手拈來，文學性使本書受衆廣泛，可讀性強。避免了數理學術書的高深艱澀。通過作者講述的人生故事，淋漓盡致地體現了科學與人文如何相輔相成。

★提出對真與美的追求是一切科學成就的思想動力，對當代青年選擇職業，規劃未來深具啓發。

★特別收錄清華大學就職演說/畢業致辭/給中學生的書信等多篇文稿，感悟數學大師對青年人的寄語。

本書集結了丘成桐先生近半個世紀以來探討數學和人文教育的系列文章，呈現了一位天才數學大師溝通數理與人文的努力與實踐，透射出其追求真與美的數學觀、人生觀，一字一句皆飽含着對真理的熱愛、對美的追求以及對祖國科學事業的殷殷之情。

丘成桐在書中分享了畢生研究數學、傳授數學的經歷和經驗，講述了世界範圍內數學家羣星閃耀的歷史傳奇，揭祕了“卡拉比-丘流形”的誕生歷程和幾何奧妙，也有大量篇幅談及中國教育的現狀和問題。

讀者可在書中瞭解這位譽滿世界的傑出數學大師的治學心跡與家國情懷，感受天才頭腦的思維活力和深厚的人文底蘊，見證他追尋學問的理性以及對人才教育的計之深遠。

丘成桐，清華大學講席教授，丘成桐數學科學中心主任，哈佛大學數學系和物理系終身教授，香港中文大學博文講座教授兼數學科學研究所所長。

丘成桐囊括了維布倫幾何獎（1981）、菲爾茲獎（1982）、麥克阿瑟獎（1985）、克拉福德獎（1994）、美國國家科學獎（1997）、沃爾夫數學獎（2010）、馬塞爾·格羅斯曼獎（2018）等獎項，是第一位獲得國際數學最高獎菲爾茲獎的華人，也是繼陳省身後第二位獲得沃爾夫數學獎的華人。

著有《我的幾何人生》《大宇之形》《微分幾何講義》等作品。

序

緒言 數學中的真與美

真兮，無問西東

在數學和物理中的幾何人生

我的興趣是數學

數學與數學教育

數學的內容、方法和意義

關於數學學習

我研究數學的經驗

美矣，萬古心胸

數學史大綱

廣義相對論中的數學

弦論和宇宙隱維的幾何

實驗科學對理論科學的影響

回首哈佛數學150年

科學與歷史——中國基礎科學發展

數學史與數學教育

善哉，天地立心

求真書院2021級本科生開學典禮致辭

求真書院首屆成人禮上的講話

清華大學講席教授就職演說

崇高惟博愛，難忘初本；本天地立心，牢記使命

數學家的志氣與操守

清華大學經管學院2022年畢業典禮講辭

數學與科技

文化與創新

學問、文化與美

培養數學人才之我見

北京沃爾夫數學獎致答辭

在沃爾夫獎獲獎儀式上的演講

拔尖創新人才：本土培養更重要

致中學生的一封信

附錄一 訓子純深

附錄二 懷念母親

附錄三 懷鎮公老師

編後記

丘成桐的故事就是展示中國的一個窗口。通過他，我們可以看到一個有着五千年文明歷史的國家，正努力與現代科學結合在一起。如果這種結合獲得成功，終將重塑世界科技的平衡。

——《數學皇帝》《紐約時報》丘成桐人物專稿

21歲他(從伯克利)畢業時就註定要改變數學的面貌。

——丘成桐的導師、世界數學泰斗陳省身

近1 / 4世紀裏最有影響的數學家。

——國際數學大師唐納森

在哈佛，丘成桐一個人就是一個數學系！

——艾沙道爾·辛格，美國數學家、阿貝爾獎獲得者

一位數學家的科學真言和他對國內學術環境的觀察——

1.丘成桐談中國爲什麼培養不出頂尖科技人才？

近幾年來，中美關係緊張，中國種種先進的科技產品被外國卡脖子。科技界開始認識到基礎科學的重要性，它是國家科技能否領先的決定性因素。我們也從中瞭解到西方積累數百年的競爭力所在。

我們需要在本國的土壤上培養出傑出的數學大師，作爲全國、甚至全世界數學的模範。回顧四十年來，基於公平原則，中國取士以高考爲主，反覆地操練數學技巧。高中最後一年，甚至把全部時間花在考題上。這種做法使學生對基礎數學的精神和興趣喪失殆盡。假如我們的目標是培養有能力重複先進國家技術的工程師，這樣的訓練方式公平而又無可厚非。事實上，中國亦因此成爲製造業大國。但是，這樣訓練出來的學子，創意不足，只能跟着別人的腳步。況在危急之際，會給外國卡脖子。

最近二三十年來，亞洲各國都在基礎數學上發奮圖強！日本、越南、印度和伊朗四個國家都產生了菲爾茲獎得主！中國作爲世界大國，四十年來，竟然無人問鼎，教人情何以堪？

個人建議是集中精力培養一批特別有才華，又對於數學有濃厚興趣的年輕人。這批人不受高考和奧數的羈絆，從少年開始，就接受數學大師的親授薰陶。他們中間必定會有人脫穎而出。

……

我們需要培養學生的國際視野，在學術和文化上引入多樣的看法。在大力引進世界一流學者的同時，也需要招收一流的國際學生。美國所有名校的成長，都是這樣完成的。傑出學生之間的交流，和老師的教導同樣重要。

……

所謂”十年磨一劍“，爲了讓學者能把精力花在艱辛的研究課題上，同時也減少人事關係上時間與精力的虛耗，我認爲至少在數學科學這領域，政府可以考慮取消所有帽子的機制。極度優厚而又往往不公平的競爭起着負面的作用。獎勵應該由高校自己決定。從前國內普遍薪資不高，獎項起過一定的作用，但是現在已經過時了。美國政府就沒有設立這樣的獎項，美國高校也沒有根據國家獎金來決定教授的房產待遇。帽子制度不改變，恐怕中國未來十年，有可用之餉，而無可用之兵，有夜郎之士，而無創新之將！

現在某些財政充裕地方政府和高校爲使政績可觀，花上大量的金錢去購買論文，又重金禮聘名家。這些受聘名家只是掛個空銜，不需要承擔任何責任，甚至一年中大部分時間不需要出現在該地方。聽說某院士在全國有八十多個院士工作站，比孫大聖分身能力更強。這些荒謬的現象對真正做學問的人傷害很大，必須改正過來。

2.丘成桐談人才該怎麼培養？

人才培養是一個國家的命脈。無論古今中外，國家的強盛都要靠人才，沒有人才的國家無法成爲一流大國。肖傑教授說我癮頭很大，這其實跟癮頭無關。在美國，各行業的領軍人才很多，但他們最擔心的還是培養人才，年復一年地討論怎樣培養更多的人才，怎樣讓年輕人更好地成長。這是美國富強的一個主要原因。

我在上世紀60年代末到美國，至今已有40年了。我發現美國人辦大學，討論的主要問題都是怎樣提拔年輕人，他們特別喜歡很年輕的學者。他們認爲這關係到學校的前途，也關係到社會的前途。舉例來說，哈佛大學數學系是全世界最好的數學系，最近我們請了3位非常年輕的教授做終身教授，3位教授的平均年齡不超過30歲。這樣的例子在國外也少有。我們認爲提拔年輕人使我們數學系生生不息地成長。這是很重要的事情。

我覺得中國對年輕人的重視還不夠，事實上許多人不習慣看到年輕人很早就冒出來作重要的決策，不論是行政上的還是學術上的決策。

其實在科學上，很多重要的工作都是科學家們在20多歲的時候做出來的。一般來說，一個數學家或是一個科學家主要的工作，在40歲以前是可以看得出來的，甚至在30歲以前就看得出來了。如果到40歲還看不出來的話，這個學者的前途就不太樂觀了。當然也有例外的情形。

美國的大學之所以有活力，就是因爲他們大量地提拔三四十歲的年輕教授。年輕教授的薪水有時候甚至比資深教授還要高。我記得我28歲時候的薪水在數學系大概排名第三。美國的大學願意做這種事，是因爲他們認爲年輕教授很重要。同時更有意義的一點是，美國很多資深教授願意接受這個事實。他們願意承認，有些年輕學者所做的學問，比他們這些年紀大的教授還要重要。值得敬佩的是：即使年輕教授做得沒有他們好，他們有時候也願意讓一些重要的位置給年輕教授，從而使他們能夠更好地成長。一般來說，中國的大學還做不到這一點。這是美國和中國大學一個重要的區別。

在培養和引進人才上，中國沒抓住這一點——充分認識到年輕人的重要性。問題是怎樣去尋找、培養、吸引年輕人？20多歲學問就做得很好的學者不多，中國應該花很大功夫去聘請他們全職回來。因爲我們希望在中國本土做出一流的學問，而不是單在國外做研究。不少偉大的華人科學家拿了諾貝爾獎，很值得慶賀，但他們的工作都是在外國做的。我希望在清華、在中國本土做出這些工作，在本土培養比在外邊成長更爲重要。

我認爲一個教師要真正花時間，花功夫去教學生。中國有些教授認爲教學生不是他們的責任，不願意花時間在學生身上。我們這個清華學堂數學班希望名師親自來教學生，這是態度問題。在哈佛大學，大教授、名教授都認爲，教本科生，從本科開始帶學生，這是我們的責任，很重要的責任。

3.丘成桐談學術風氣

改革開放後，大批中國青年留學海外，其中有能力的還不少，但與哈佛大學80年來培養的傑出學生水平距離尚遠。我讀美國史，美國從開國到20世紀中葉，即使積弱的時候，很多人也不拋棄自己的理想，不追求虛僞的面子，卻堅持追求真正的結果，寧爲玉碎不爲瓦全。希望我們的留學生也能把對理想的追求放在首位。

很多年輕學子只願意做一些小問題，以巴結逢迎有權勢的學者，甚至有人去抄襲而不知恥！這些情況令人難以置信。在哈佛，無論教授和學生，都以研究成果爲最高目標。100年來，哈佛的師生髮展了好幾個新的基本而重要的數學學科。反觀中國數學，到目前爲止，尚未了解的學科分支甚多，能夠開拓新的理論尚且路漫漫。中國的國力較比開放初期，要強得多，國家和政府又希望基礎科學早日趕上世界一流水平。上面所述，可以看作是：他山之石，可以攻玉。本文無意指責，但一個社會需要認識到不足之處，如果不知自己的缺點，也不知改正的話，恐怕很難成功地發展良好的學問。今日必須在學術界端正學風，樹立正氣，遏制腐敗，完成學術改革。

國內有些人認爲，基礎科學需要有深入的訓練、有深度的看法，才能產生新的結果，好的創意，曠日彌久，難有快速成功的機會。不如等待別人做好基礎的研究後，拿過來用就是了。但是他們忘記了一點，自己覺悟出來的理論，通過自己勞動得到的結果，自己才最瞭解它的長短，應用起來才能得心應手。在科技發展一日千里的近代社會，我們非得掌握其中精髓，才能與人競爭。

……

我想中國基礎科學不如西方，不是單單科舉取士扼殺創意，就可以完全解釋得過去。這與中西方哲學思想的不同有極大的關係。

西方哲學家追求的是窮理致知，中國哲學家追求格物致知。基礎科學的精神在於窮理，中國一般學者更講究應用。在今日中國的學術界，尤其是這三十多年來留學海外的華裔學者，有成就的實在不少。但是領袖羣倫，成一家之言的，卻實在不多！有這樣地位的學者，必須能夠創造新的學問，新的方向，有自己的哲學來指引大方向。同時有決心，有毅力來窮究真理的本源。今日中國要在基礎科學領域出人頭地，必先學習基礎科學背後深刻的哲學思想。

……

在不同時代，中國學者表現的風骨並不一樣。有時，中國人重人事關係，遠比真理爲重。如何解決這個問題是中國科學現代化的重要一環。在真理面前，人人平等！這個顯而易見的科學精神，必須得到重視。

希臘亡於羅馬，宋朝亡於蒙古人。亡國者的文化遠勝於侵略者。但其實這是兩個問題。最理想的狀態是，一羣人一生致力於文藝和基礎科學的研究，另一羣人做技術上的研究，還有人致力於將技術變成產業。幾方面協力共進，社會和國家纔會得益。

……

中國學者少有注意數學發展的歷史和支持數學的基本哲學，大部分蕭規曹隨，解決一些問題而已。但是理論如何叫做完美？它有它的客觀性，也有它的主觀性。很多學者發展了一套長篇的理論，看似漂亮，卻是越來越玄虛，結果無以爲繼。這是和自然界的真和美，愈來愈脫節的緣故。當年我和我的朋友們發展幾何分析，就堅持我們必須要有理論，要有長遠的看法。

丘成桐致中學生的一封信

親愛的孩子們：

感謝你們的來信和你們對數學的興趣。我盡我所能來回答你們的問題。

1.雖然我在數學上取得現在的成就，但從小並非天賦異稟。我五歲時，小學入學考試數學不及格，我在高中的時候也還不是一個出色的學生。當然，我那時認識到我在數學上有一些才能，並開始做家教掙錢來貼補我貧困的家境。直到大學二年級，我對數學才真正地開始感興趣起來，因爲一位新的數學老師來了，他激勵了我。

2.簡潔是數學一直吸引我的因素之一。數學可以用很少的語言（甚至不用語言）來描述你周圍的世界，它的描述可以是精確的——對於其他語言來說，這是不可能的。我經常是在簡潔的一次方程中發現美。

3.我一直到大學都不是最好的學生，甚至直到讀研究生的時候，都不知道應該專攻數學的哪個領域。起初我假定最抽象的領域是最有意思的。但最後我認識到我最適合幾何。和更抽象的領域相比，在幾何上，我們總有可以參考的圖形，我發現這很有幫助。

4.給非數學家解釋數學的美是很困難的，不過，我認爲很多美來自它的力量！幾乎我們所知道的所有關於如重力、電磁學、量子物理的內容，都可以被歸納成僅僅一頁紙的少數幾個方程。探索這些方程的涵義和影響，可以花去人們一個世紀或更長的時間。

5.數學家們（包括我自己）通常習慣於討論高維空間，我們的觀點、方程可以應用到無窮維。然而那並不意味着我們的宇宙一定是弦理論所說的10維空間。弦理論的方程只與10維空間，或者說10維時空相一致。自然也許是，也許不是按照我們希望發現的樣子運轉。我們需要努力的工作和耐心，因爲我們遠未回答清楚宇宙到底有多少維的問題。

感謝你們有思想的問題和學習數學的努力！

祝好！

丘成桐

WilliamCasparGrausteinProfessorofMathematics

丘成桐談數學奧祕

數學之爲學，有其獨特之處，它本身是尋求自然界真相的一門科學。但數學家也如文學家般天馬行空，憑愛好而創作，故此數學可謂是人文科學和自然科學的橋樑。

數學家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規律，並用數學的方法表達出來。這裏所說的大自然比一般人所瞭解的來得廣泛。

我們認爲，數字、幾何圖形和各種有意義的規律，都是自然界的一部分。我們希望用簡潔的數學語言，將這些自然現象的本質表現出來。

丘成桐談數學與人文的關係

數學是一門公理化的科學，所有命題必須由三段論證的邏輯方法推導出來，但這只是數學的形式，而不是數學的精髓。

大略言之，數學家以其對大自然感受的深刻程度，來決定研究的方向。這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，後者則取決於個人的氣質。氣質與文化修養有關，無論是選擇懸而未決的難題，或者創造新的方向，文化修養皆起着關鍵性的作用。文化修養是以數學的功夫爲基礎，自然科學爲輔，但是深厚的人文知識也極爲要緊。

廣義相對論提出了場方程，它的幾何結構成爲幾何學家夢寐以求的對象，因爲它能賦予空間一個調和而完美的結構。我研究這種幾何結構垂三十年，時而迷惘，時而興奮，自覺同《詩經》《楚辭》的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾然一體，自得其趣。

捕捉大自然的真和美，實遠勝於一切人爲的造作，正如《文心雕龍》說的：“雲霞雕色，有逾畫工之妙。草木賁華，無待錦匠之奇，夫豈外飾，蓋自然耳。”在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結構是一個極爲重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。儘管其他幾何學家都不相信它存在，我卻鍥而不捨、不分晝夜地去研究它，就如屈原所說：亦餘心之所善兮，雖九死其猶未悔。我花了五年功夫，終於找到了具有超對稱的引力場結構，並將它創造成數學上的重要工具。當時的心境，可以用以下兩句來描述：落花人獨立，微雨燕雙飛。

數學的文采，表現於簡潔，寥寥數語，便能道出不同現象的法則，甚至在自然界中發揮作用，這就是數學優雅美麗的地方。

有才能的人做學問還是去賺錢，該怎麼選？

其實整個社會的風氣要改不太容易。很多時候說容易，做到難。我有時問朋友：你賺了很多錢，到了一定程度後，是不是覺得很快樂？我看不見得。我的一些有錢的朋友，有的本來家裏有錢，有的是自己做生意賺的，他們倒是覺得有點空虛。我覺得我們學問做得好，社會在物質上不會虧待我們。做一名教授，不論在美國還是在中國，生活上都沒有什麼問題。要說奢侈辦不到，但至少小康之家是可以的，內心滿足，生活愉快。只要學問做得好，受到人家尊重，自己就有大的滿足感。就像釣魚一樣，釣得多固然高興，有時候雖然坐很久，才釣到一條，但你也覺得滿足。這跟做學問一樣，坐很久，想了老半天，纔想通了一個問題，你會覺得滿足。這種滿足感和賺錢不大相同，賺錢的快樂不能夠持久。

對一般年輕人和大學生，要多想以後做什麼事，做到什麼地步。假如覺得有錢能夠使你極爲滿足的話，當然可以去做生意。我覺得賺錢能對社會有貢獻也很好，不一定勉強在學問一途，但也要記得回報社會。無論賺錢或做其他的工作，只要是你想做的就好。現在許多年輕大學生對學問有興趣，數學也學得好，可爲了要賺錢，寧願學其他學科，畢業後都去公司或經商，這樣有些可惜了。

丘成桐談數學情懷

我還有第三個家，我待在那裏的時間更長久得多，那裏就是數學。

我在哈佛和中國的諸多職務，致使我必須頻繁地遊走美國及亞洲之間。我如此來回奔波，以至於很難說哪裏是我真正的家，或者我是否有兩個家，我從未全然歸屬於何地。

這種感覺讓我位處奇特之地，不能在傳統地圖上定位，而是居於兩種文化及兩個國家之間——它們在歷史、地理和哲學上截然有別，也因烹飪美食的顯著差異而彼此隔閡。

但我還有第三個家，我待在那裏的時間更長久得多，那裏就是數學。對我來說，數學提供了一本普世通用的護照，允許我在世界各地自由行動，也讓我用它強大的工具去理解世界。

數學具有一些看似神奇的性質：它可以彌合距離、語言和文化的差距，能夠引領那些善於駕馭數學威力的人，瞬間到達同一交流空間或同一思想平臺。

數學的另一神奇之處，在於它不需要太多資金來進行重大研究。許多問題的解決，需要的只是一張紙、一支筆，以及專注的能力。有時你甚至不需要紙筆，在腦中就可以進行最重要的工作。

丘成桐談數學歷史

經過深思熟慮之後，我認爲中國的數學發展依舊沒有脫離傳統的急功近利的做法。一般學者沒有宏觀的數學思想，不知道數學有一個多姿多彩的歷史，只看到數學的部分面貌。所以我希望通過描述數學歷史，來打開我們數學學者的胸懷，從而做出傳世的工作。

我將我所知道的數學重要里程碑，約略分成80個不同方向，分別在幾個大學做過演講。但是因爲時間不足的緣故，我只討論了40個方向，基本上只包括西方文藝復興以後的工作，這些工作使我歎爲觀止。中國數學家要走的路還是“既阻且長”，恐怕我們需要做到如屈原說的“路曼曼其修遠兮，吾將上下而求索！”

我希望中國的官員願意花時間閱讀這些古代學者的偉大成就，知道中國數學學者的能力相甚遠，對於數學知識還是相當貧乏，尤其是年紀比較大的中國數學家，他們的知識還不足夠來評估近代數學的成就，尤其是對近代數學有成就的年輕人的數學並不見得了解。官方給予學者“帽子”，本來是好意，但是由於評估不一定以學問爲主要標準，結果卻是揠苗助長。

幾何問題，千變萬化，難以捉摸。有沒有一定之規？

解題過程，千轉百回，時難突破。有沒有坦途捷徑？

面積法，融匯古今數學智慧，利用面積關係巧解數學難題。

面對萬千題型，一招制敵！

張景中院士從事面積法研究、教學數十年，使這一古老數學思想煥發新機。

彭翕成博士深得面積法之精髓，妙筆生花，精彩演繹，讓你手不釋卷。

一冊在手，讓你瞭解課本上學不到的解題方法。

高手指點，讓你快速找到學習數學的門徑。

從此，把數學變簡單.

面積法是一種有着悠久歷史的傳統方法。近幾十年來, 面積法體系得到進一步的發展, 煥發出新的生命力, 如今已成爲平面幾何中的基本方法，甚至成爲解決很多幾何難題的通法。

本書介紹了用面積法解題的基本工具 (共邊定理和共角定理) 以及指導思想 (消點法), 並輔以大量例題來說明用面積法解題的有效性。 另外, 書中還介紹了面積法與勾股定理、 托勒密定理等的關係, 以及面積法在不等式、 三角等多個數學分支中的應用。 本書以面積法爲主線, 串接了許多有趣的數學內容, 適合中小學師生以及數學愛好者閱讀。

我們很高興看到讀者對我們的認可。現在，我們對這本書進行了完善並重新出版,希望能對你學習幾何有一點幫助 .

彭翕成 博士，數學科普作家,現工作於華中師範大學,主要從事數學文化傳播和數學教育技術的普及.發表文章百餘篇，出版作品十餘部，主要有《數學哲學》《繞來繞去的向量法》《數學教育技術》《課本上學不到的數學》《師從張景中》《向量、複數與質點》《不等式探祕》《從初等數學到高等數學》《點幾何解題》《數學人的邏輯》等.近年從事幾何定理機器證明研究，提出了恆等式證題算法等，使得數以千計的幾何題一行解決，並能舉一反三發現新命題，將原有的可讀水平推進到明證水平. 張景中 數學家和數學教育家，中國科學院院士，曾任四川省計算機學會理事長、第四屆中國科普作家協會理事長、屆中國高等教育學會教育數學專業委員會理事長.機器證明、教育信息技術領域國內外的專業人士，對幾何定理可讀機器證明、教育數學、距離幾何及動力系統、教育信息技術學等科領域以及數學科普做出了突出貢獻，成果顯著.曾獲國家技術發明獎二等獎、國家自然科學獎二等獎、國家科學技術進步獎二等獎、中國科學院自然科學獎一等獎、中國計算機學會終身成就獎、中國國家圖書獎、五個一工程獎、全國五一勞動獎章、全國優秀科普作品獎等.榮獲“建國以來貢獻突出的科普作家”等榮譽稱號.

第1章 面積法與勾股定理 1

1.1 面積法的起源　1

1.2 勾股定理的拼擺證明　5

1.3 勾股定理的分割證明　10

1.4 趙爽弦圖的應用舉例　13

第2章 共邊定理、 共角定理和消點法　21

2.1 共邊定理　21

2.2 共角定理　29

2.3 消點法　32

2.4 幾何定理的機器證明　39

第3章 共邊定理的兩種變式　48

3.1 合分比形式的共邊定理　48

3.2 定比分點形式的共邊定理　53

3.3 從解析法看共邊定理　61

第4章 等積變換　63

4.1 平行線與等積變換　63

4.2 蝶形定理　74

4.3 單尺作圖　77

第5章 面積割補　81

5.1 細分法　81

5.2 割補法　90

5.3 面積法與中位線　95

第6章 面積法與數形結合　105

第7章 面積問題　113

7.1 趣味面積問題　113

7.2 面積比例問題　127

第8章 線段問題　138

8.1 線段比例問題　138

8.2 線段比例和問題　146

8.3 等邊三角形經典問題　150

第9章 角度問題　154

9.1 與角度相關的面積問題　154

9.2 用面積法求角度　163

第10章 面積法與不等式　170

10.1 面積縮放　170

10.2 幾何不等式　178

第11章 面積法與三角恆等式　189

第12章 海倫-秦九韶公式　196

第13章 托勒密定理　204

第14章 三角形內一點問題　211

第15章 有向面積　222

第16章 面積法的侷限性　227

第17章 高等數學與面積法　234

17.1 微積分與面積法　234

17.2 線性代數與面積法　241

17.3 幾何概型與面積法　245

17.4 面積法還能走多遠　246

附錄　勾股定理的證明　248

參考文獻　254

後記　255

1974年,我給中學生講課時發現面積法非常有效.從1974年到1992年,我用面積法研究幾何18年,發現其中的關鍵是消點，用面積消點法實現了可讀機器證明，從此相當多的幾何題有了解題通法，而不再依靠“靈光閃現”.

一方面，面積法是解題利器，能快速、簡潔地解出很多用傳統方法難以解決的問題.另一方面，面積法將幾何、代數、三角、不等式等衆多知識串聯起來，讓你將所學的知識融會貫通，更加系統化.

數學家 張景中院士

實現幾何直觀和代數計算的深度融合，面積法無疑是其中重要的方法之一.

數學科普作家

數學教育家張景中院士帶你學數學

國家基礎教育課程委員會委員王尚志教授、《義務教育數學課程標準》修訂組組長曹一鳴教授大力推薦

趣味數學實驗，幫你發現生活中的數學

典型例題分析，助你快速掌握學習方法

免費作圖工具，海量學習資源，提升你的學習效率

200多個動畫課件，網絡畫板全程支持，帶給你不一樣得體驗

具有自主知識產權的數學學習軟件，可以實現動態演示、模擬、計算、測量，支持手機、平板電腦、個人電腦等終端使用

長期以來，數學一直以強調抽象思維能力而著稱，缺少必要的實驗手段，這也給不少人尤其是青少年帶來了學習上的困擾。有沒有有效的解決方法呢？

本書以我國自主研發的數學教育軟件網絡畫板爲操作平臺，設計了數十個由淺入深的趣味數學實驗，讓你可以通過自己在計算機、智能手機或者平板電腦上作圖、計算、測量等，觀察圖形和數量關係的變化，發現數學的奧祕，體驗數學的力量，理解數學原理，欣賞數學之美。全書分爲兩大部分，其中“漫遊數學百花園”部分選擇的內容與當前初中數學學習密切相關，例如平移、旋轉、對稱、相似……但似乎又是在講述生活中的有趣故事。平日給人以嚴肅面孔的數學瞬間變得親切生動了，給人的感覺大不一樣了。第二部分“計算機幫你解題”包括三角形、四邊形、一次函數和二次函數等內容，這裏的題目源於數學學習中讀者關心的熱點問題，但採取了不同的處理方式，能夠很好地幫你拓展思路，加深對相關數學知識的理解。當然，你也可以使用網絡畫板免費版自主探索其他數學問題。

相信這本書會給你學習數學、理解數學和應用數學帶來不一樣的啓示。讓我們開始吧！

張景中：數學家和數學教育家，中國科學院院士，曾任四川省計算機學會理事長、第四屆中國科普作家協會理事長、屆中國高等教育學會教育數學專業委員會理事長。機器證明、教育信息技術領域國內外有名，對幾何定理可讀機器證明、教育數學、距離幾何及動力系統、教育信息技術學等科領域以及數學科普做出了突出貢獻，成果顯著。曾獲國家技術發明獎二等獎、國家自然科學獎二等獎、國家科學技術進步獎二等獎、中國科學院自然科學獎一等獎、中國計算機學會終身成就獎、中國國家圖書獎、五個一工程獎、全國五一勞動獎章、全國優秀科普作品獎等。榮獲“建國以來貢獻突出的科普作家”等榮譽稱號。 王鵬遠：北大附中退休數學教師，曾擔任北京市中學數學學科帶頭人。長期從事數學教育及數學教育技術的研究推廣工作，編寫有《信息技術與中學數學教育》等多部作品，公開發表數學教育論文百餘篇。2014年，與張景中院士合作編寫的《少年數學實驗》一書榮獲第三屆中國科普作家協會優秀科普作品獎金獎。

操作说明 1

第1部分 漫游数学百花园　1

第1章 跟你的眼睛开个小玩笑　3

第2章 从小河上漂浮的树叶谈平移　9

第3章 打台球照镜子与轴对称　21

第4章 从小鸡吃米、风车与钟表说旋转　31

第5章 漫话相似　42

第6章 影子与图形变换　64

第7章 有趣的反演变换　82

第8章 自行车中的数学　94

第9章 铺地板的学问　105

第10章 两个点如何相加　118

第11章 从面积到正弦　136

第12章 从正方体谈起　157

第13章 古算法中的球体积公式　172

第2 分 计算机帮你解题　177

第14章 三角形　179

第15章 四边形　202

第16章 一次函数　225

第17章 二次函数　239

第18章 关注数学的新题型　271

附录 操作说明索引　309

這本書提供了大量有價值的實驗案例和素材，有利於學生在老師的指導下或獨立自主地開展數學實驗……順應了“雙減”背景下師生對數學實驗探究課程和數學科普活動的需求，是學好數學的好幫手。

——王尚志

首都師範大學教授

《高中數學課程標準》研製組副組長

《高中數學課程標準》修訂組組長

《義務教育數學課程標準》修訂組核心成員

國家基礎教育課程委員會委員

國家教師教育資源委員會委員

四十年來我研究學問，處世爲人，屢敗屢進，未曾氣餒。我一生從未放棄追尋至真至美。

——丘成桐

“數學界的諾貝爾獎”菲爾茲獎首位華人得主丘成桐親述自傳！

從中國鄉村的貧窮少年，到舉世矚目的“數學皇帝”，走進顶级科學家的大腦，感受非同尋常的傳奇人生！

以甜甜圈講解拓撲學，從廣義相對論到弦理論，觸摸人類智慧的邊界，領略數學之美！

收錄丘成桐原創詩詞賦文，萬言長賦《中華賦》震撼發表；學貫中西、融通文理，盡顯大家風範！

收錄丘成桐2020年致清華大學畢業生演講稿，在新冠時代寄語中國青年：立足祖國、堅持不懈、敢於挑戰！

本書講述了丘成桐從中國鄉村的貧窮少年成長爲舉世聞名的*數學家的勵志故事。困頓清苦的童年，艱苦卓絕的異國求學路，初入數學界的一鳴驚人，名聲大噪後的風起雲涌，對中國基礎科學建設的拳拳之心……攀登科學高峯，撥開浮華迷霧，丘成桐直面盛譽、無懼挑戰，講述觸動人心的傳奇人生。

書中特別收錄丘成桐原創詩詞賦文，學貫中西、融通文理，盡顯大家風範。他的故事就是展示中國的一個窗口。通過他，我們可以看到一個有着五千年文明歷史的國家，正努力與現代科學結合在一起，並終將重塑世界科技的秩序。

丘成桐，當代具有影響力的數學家之一，哈佛大學教授、清華大學教授，北京雁棲湖應用數學研究院院長。他是美國國家科學院院士、美國藝術與科學院院士、中國科學院外籍院士，榮獲菲爾茲獎、沃爾夫獎、克拉福德獎、美國國家科學獎、馬塞爾·格羅斯曼獎、中華人民共和國國際科學技術合作獎等大獎。他成功解決了許多著名的數學難題，其研究深刻變革並極大擴展了偏微分方程在微分幾何中的作用，影響遍及拓撲學、代數幾何、廣義相對論等數學和物理領域。

史蒂夫·納迪斯（Steve Nadis），美國知名科學作家，《天文學》（Astronomy）雜誌專欄作家。

序一

序二

序三

第一章　童年顛沛

第二章　何去何從

第三章　初履北美

第四章　仰望卡峯

第五章　高峯挺進

第六章　故里難通

第七章　斯年堪紀

第八章　弦籌共融

第九章　適彼樂土

第十章　矢志興中

第十一章　龐氏餘波

第十二章　東風西風

附 錄

研求之樂

在清華大學2020屆數學科學系畢業典禮上的講話

賀北京雁棲湖應用數學研究院成立

杭州會議序

中華賦

後 記

我沒有將我的一生成書面世的經驗，爲了自己，同時也爲了方便讀者，讓我話說從頭。簡略言之，1949年春我出生於汕頭，因爲戰亂，幾個月大的我隨着家人南遷香港，在這個當時由英國人管治的地方成長，直到1969年赴美深造爲止；此後一直在美國生活。時光流逝，不知不覺間，距離我次橫渡太平洋已近五十年了。這幾十年間，我曾無數次往返北美和亞洲。行旅之中，每每自問，我真正的家園何在；或更精確地說，我有兩個家，但兩者皆非我身心安託之所。

我在美國生活富足，也有一定的成就，然而和身處的社會並非水乳交融。對中國，無論在情感或家族上，這種紐帶是根深蒂固的，早已烙刻心中。但經過了這麼多年後，對祖國的印象也在不斷變化，多少有些隔膜。無論在美國或中國，我都像半個局內人和半個局外人。

這種感覺，使我置身於一般地圖上找不到的頗爲詭異的位置，介於無論在歷史上、地理上、理念上甚至口味上都是南轅北轍的兩套文化和兩個國家之間。我家在麻省劍橋，離哈佛大學不遠，自1987 年受聘于此，安居樂業至今。而在北京我也有套公寓，每次到北京時會在那裏安頓。但我還有第三個家，它就在數學的國度內，我在那裏棲遲久，至今差不多半個世紀了。

對我來說，數學賦予我的，是一本讓我在世界各處隨意走動的護照，同時也是探索這世界強而有力的工具。數學擁有神奇的力量，對那些懂得駕馭它的人來說，數學能打破距離、語言、文化的隔膜，把他們立時拉在一起，交流共通的知識。數學還有另一個神奇之處，那就是不需要什麼成本，也能在數學的天地大展拳腳。就許多問題來說，所需的只是一張紙和一支筆，再加上專心致志的能耐。有時甚至連紙筆也不用，重要的工作就在腦海中完成。

早在念完研究院和取得博士學位前，我已努力不懈地從事研究，能有這樣的機遇，非常感恩。今天，我對數學略有貢獻，並以自己的專業爲榮。然而，縱使自小就對數學着迷，我的數學生涯並不是一蹴而就的。事實上，童年時做夢也想不到自己會有今天的成就。

我在知識分子的家庭中成長。雖然幼時家窮，但我和兄弟姊妹並不乏雙親的慈愛。不幸父親丘鎮英在我十四歲時去世，家中經濟拮据，既無積蓄，又債臺高築，但母親樑若琳決心繼承父親的遺志，讓我們繼續上學，追求學問。我努力學習，並在中學時爲數學所吸引，感受到它的召喚。念大學時，遇到加州大學伯克利分校的年輕學者斯蒂芬·薩拉夫，可說是我人生的轉折點。在他的安排下，我到了伯克利念研究院，投到當時世界著名的華裔數學家陳省身先生門下。

若非一連串的機緣巧合使我到了加州，真不知道自己能在數學的道路上走多遠。如果沒有母親爲子女做出的犧牲，和父親培養子女對知識的熱愛，我也不會有今天的成就。我把這本書獻給他們，沒有他們就沒有今天的我。同時，也要感謝內子友雲和兒子明誠、正熙過去多年的容讓。此外，還要感謝我的兄弟姊妹。

大半生沉醉於圖形、數字，還有曲線、曲面和高維空間的我，工作和人生因和家人、朋友、同行、師長、學生的交往而變得十分豐盛。

我一直風塵僕僕輾轉於中國、美國，爲了追尋幾何的真和美踏遍全球。幾何這門學問從宏觀和微細的水平來探索宇宙，在這些旅程中，猜想形成了，公開難題提出了，各種定理證明了。可是，數學的工作幾乎都不是獨立完成的，而是建基於前人的成果上，得力於頻繁的交流中。這些交流時而導致誤解甚至紛爭，本人也曾不幸地牽涉其中。從這些經歷中，認識到“純粹數學”實質上是很難做到的，明爭暗鬥往往出乎意料地介入，不免唐突了數學之美。

雖然如此，和同行隨性的交談卻會導致出乎意料的收穫，影響維持多年甚至數十年之久。說到底，我們都是時代和社會的產物，受別人影響，被環境薰陶，諸般歷練使我的人生更豐盛、更復雜。此書所載的，便是我的出身、成長和個人經歷，但願讀者不覺乏味。

我想借此機會感謝一些人，他們其中有的與這本書並無直接關係，卻協助提高了全書的可讀性。首先是我父母，可謂恩深難報；他們竭盡全力養育子女，在艱難的日子中教導我們正確的人生觀，瞭解到人生的主要目的不在追逐名利，從而使我走上研究數學的道路，而非賺錢而已。我和兄弟姊妹都很親近，對三姐成瑤尤其感激。在去世之前，她爲幫助我和弟妹做出了諸多犧牲，包括自己的事業。

我亦有幸能夠邂逅並與內子結成伴侶。我們對人生的看法一致，財富、奢侈品和物質生活皆比不上對學問的追求。對於我們的兩個兒子都走上了學術研究的道路，做父親的我感到十分欣慰。

有幸自中學開始，就和鄭紹遠、徐少達、王彬等結爲好友，班主任潘燕霞老師在我年少無助時的慈憐，周慶麟講師讓我在崇基書院一年級時初窺高等數學的門戶，而幸運的乃是得遇斯蒂芬·薩拉夫，經他的指點，我在陳省身、小林昭七、薩拉森等師長的幫助下到了伯克利深造。

亦感謝美國的教育體系，它使我到達美國後，即能在理想的環境中鑽研數學。這體系的特點是充分重視和培養每個人的才華，無分種族、出身和說話的口音。特別要感謝哈佛大學，給予我迄今三十多年安樂的家，還有很多很好的同事，人數衆多，請恕無法盡錄。

我的職業生涯也有賴於老一輩數學家的無私提攜。首先要提到重要的是我的論文導師陳省身老師，其他有大幫忙者包括：阿爾芒·博雷爾、拉烏爾· 博特、歐金尼奧·卡拉比、廣中平佑、弗里德里希·希策布魯赫、巴里·馬祖爾、約翰·米爾諾、查爾斯·莫里、于爾根·莫澤、戴維·芒福德、路易斯·尼倫伯格、羅伯特·奧塞曼、吉姆·西蒙斯、艾沙道爾·辛格、什洛莫·斯滕伯格。

有些數學家喜孤軍作戰，我則在團隊中發揮尤佳。多年來有幸與多位傑出的學者攜手作戰，他們包括：鄭紹遠、約翰·科茨、羅伯特·格林、迪克·格羅斯、理查德·漢密爾頓、比爾·赫爾頓、布萊恩·勞森、李偉光、比爾·米克斯、楊宏風、維爾弗裏德·施密德、孫理察、利昂·西蒙、克利福德·陶布斯、卡倫·烏倫貝克、伍鴻熙、姚鴻澤，還有舍弟成棟。尤其是孫理察，我與他合作逾四十五年，完成了部分好的工作。雖然開始時他是我的學生，但我們互相學習，齊足並馳，多年情誼，彌足珍貴。

我亦與弟子和博士後合作，其中包括曹懷東、樑乃聰、李駿、連文豪、劉克鋒、劉秋菊、王慕道等。我在內地和香港也有不少出色的同行，包括楊樂、辛周平等。在我的職業生涯中，也常常和物理學者緊密地聯繫，與下列人士的交流尤爲密切：菲利普·坎德拉斯、布萊恩·格林、戴維·格羅斯、斯蒂芬·霍金、加里·霍羅威茨、安德魯·斯特魯明格、亨利· 泰伊、卡姆朗· 瓦法、愛德華·威滕。在從他們那裏獲益良多的同時，我的工作餘緒旁及物理，自忖也有寸功。

如上所述，作者的生命旅程，至今爲止，可謂精彩；未來如何，但願還有驚喜。

丘成桐

宇宙的密碼，也許就刻在卡拉比—丘空間的幾何之中。

——布萊恩·格林，美國物理學家、《宇宙的琴絃》作者

在哈佛，丘成桐一個人就是一個數學系！

——艾沙道爾·辛格，美國數學家、阿貝爾獎獲得者

丘成桐是近四分之一世紀裏有影響力的數學家。

——西蒙·唐納森，英國數學家、菲爾茲獎獲得者

丘成桐的故事就是展示中國的一個窗口。通過他，我們可以看到一個有着五千年文明歷史的國家，正努力與現代科學結合在一起。如果這種結合獲得成功，終將重塑世界科技的平衡。

——《數學皇帝》，《紐約時報》丘成桐人物專稿

（丘成桐談家庭）

父親的猝逝是我一生的轉折點。從前家中有一箇中流砥柱，隨時隨地照顧我們；現在沒有了，是時候掌握自己的命運了。我們在貧窮中成長，但因沒有更好的生活做比較，便不覺其中之苦。生活充滿趣味，足以抗衡金錢上的匱乏。

在離開伯克利前，還有件刻不容緩的事情要做，那就是去認識一年半前在圖書館相遇的女子，我對她一直念念不忘。我向物理系一位來自香港的朋友打探，終於知道了她名字。友雲，聽起來多麼可愛，就像在電影《西區故事》中託尼次聽到瑪利亞的名字般的感覺，幸好當時我沒有忘情地唱起來。

回顧母親的一生，她受到威脅時所顯露的力量和決心，着實令人吃驚。有人說我之所以出奇地堅毅，這種特質在解決數學難題時會展示出來，我相信部分繼承自母親。就算在艱難的歲月之中，她仍然激勵我努力讀書。當我後在學術界嶄露頭角時，她看到過往的努力得到回報，不禁老懷安慰。

“揚名聲，顯父母”乃中國文化中的格言。即是說，愈能有所成就，愈能使父母開懷。父母的付出，激勵我努力奮鬥，追求卓越。我亦深知，在培養孩子在科學上的興趣這方面，從事物理研究的妻子所擔當的角色，比我只有重沒有輕。我們並肩攜手努力，對孩子們在學術上的優異表現，深感滿意。

（談科學與文學）

對我來說，數學賦予的，是一本讓我在世界各處隨意走動的護照，同時也是探索這世界強而有力的工具。

數學擁有神奇的力量，對那些懂得駕馭它的人來說，數學能打破距離、語言、文化的隔膜，把他們立時拉在一起，交流共通的知識。數學還有另一個神奇之處，那就是不需要什麼成本，也能在數學的天地大展拳腳。就許多問題來說，所需的只是一張紙和一支筆，再加上專心致志的能耐。有時甚至連紙筆也不用，重要的工作就在腦海中完成。

在幾何中，我們利用這些方程來量度曲率，並考究曲率在空間各點的變化。由此也可以想象人生的軌跡，從各個關鍵的轉折點的“曲率”着眼，便可知整個人生的梗概。

多年來，我一直致力於擺脫分隔數學和物理的藩籬，找到一片令人振奮的、富有成果的沃土。以數學爲出發點，依靠它的指引，照亮我尋找真和美的旅程。

《紅樓夢》的主流和支線互相交織，構成極度繁複的畫卷。書中情節千絲萬縷，角色層出不窮，要花時間和眼力，始能把情節和人物聯繫起來，形成紛沓而又渾成的整體。我一有空就會看看這部偉大的著作，想象作者的胸懷和澎湃的感情。我看待數學，尤其是幾何分析便類此。大部分定理看來彼此之間並無關聯，然而漸漸可以看出，幾何分析中有某種結構，能夠把這些不相干的定理聯繫起來。其實，整個數學領域亦復如此。數學有很多不同的分支，乍一看毫無關係，但當你站得足夠遠再看，就會知道它們都是一棵大樹的各部分，就如《紅樓夢》中賈府各人的宗譜關係一樣。

藝術家和數學家的出發點大異其趣，方法截然不同，然而大家追求的都是美。恐怕創造美麗之物，或揭露大自然隱藏之美，乃是人類的通性，和職業與國籍並無關係。

作爲數學家，我們追求的不是敵國的財富，也不是千年的霸業，這些東西終究不免化爲塵土。我們追求的乃是理論和方程，它們帶領着我們在尋求永恆真理的道路上邁進。這些想法比金子來得珍貴，比詩歌來得炫目，兩者在簡樸的真理面前黯然失色。數學是諸多應用科學的基礎，它能使國家富強。善用數學，能爲現代社會維持其現狀、規劃其未來，達至國家的長治久安。

這種堅持的力量，當可追索到當日感情之突破。我一生從未放棄追尋至真至美，可以用元稹的詩句來描述：“曾經滄海難爲水，除卻巫山不是雲。”當遇到困難時，我會想起韓愈的文章：“苟餘行之不迷，雖顛沛其何傷。”我也喜歡用《左傳》中的兩句來勉勵自己：“左輪朱殷，豈敢言病。”此句出自《左傳》晉齊鞍之戰：“郤克傷於矢，流血及屨，未絕鼓音，曰：‘餘病矣。’張侯曰：‘自始合，而矢貫餘手及肘，左輪朱殷，豈敢言病。吾子忍之……師之耳目，在吾旗鼓，進退從之，此車一人殿之，可以集事，若之何其以敗君之大事也。’”

正如曹雪芹寫作《紅樓夢》一樣：“字字看來皆是血，十年辛苦不尋常。”尼采也說：“一切文學，餘愛以血書者。”每一次的研究都很花費工夫，甚至廢寢忘食，失敗再嘗試，嘗試再失敗，經過不斷的失敗，後才成就一幅美麗的圖畫。簡潔有力的定理使人喜悅，就如讀《詩經》和《論語》一樣，言短而意深。有些定理，孤芳自賞。有些定理卻能引起一連串的突破，使我們對數學有更深入的認識。

（丘成桐談基礎教育與青年成長）

中國的數學需要推一把。提升中國的數學水平是我一向的宗旨，這是先父的教導，老師陳省身也秉持同樣的宗旨。

中國刻板式的教育制度，學生多年來一直死記硬背，被動地接受老師的灌輸，這類競賽是我抗衡這種制度的一招。要知道真正的研究，並不是把老師給的習題解出來便算完成，而是至少在你研究的具體項目之中超越老師。鼓勵獨立思考，並給予適當的空間，中國學生可以更具創造性，一如美國學生般，這是毫無疑問的，這些競賽的目的便在此。得獎的準則基於創造性，以及對題目熟悉的程度。

個人一直認爲和年輕人交流不只是健康而且必要，它令你思想保持活躍。

本科與研究生階段是有時間去學習的時候，要多花工夫瞭解和思考，同時重要的是將基礎打紮實。儘管花大量的工夫對每個學生來說都不容易，但絕不可錯過的學習時機。你們在做學生的這段時間，基本的工具一定要學好。若連基本的工具都沒掌握，根本就談不上跨學科的研究。我們都知道，流的學問往往是不同學科的融合而爆發出來的火花。所謂精通就是對工具能運用自如，遇到困難的題目不會懼怕，懂得如何學習和思考。我希望你們能達到這種不畏難題的境界。

你們畢業的時候，要儘量學會一些主要的工具，這是以後對付數學、物理、生物或工程上的問題的重要“兵器”，這些問題從自然界產生，既複雜又有趣，要有辦法和工具對付它。有很多工具，剛開始以爲不重要、不流行，很多人不想去學，這往往是個錯誤的看法。我希望你們在做學生的時候至少掌握兩門不同的工具，以後做學問的時候有兩門“板斧”，而且每一門都要精通，才能在真正去解決問題時收放自如。

（丘成桐談治學精神）

人生的榮耀，乃是屢敗屢戰。

從事研究，爲學問而學問，不用爲有沒有實際的應用操心。我相信，對看來“無用知識”的追求，會出乎意料地成爲“超乎夢想之應用”的泉源。

我一直喜歡同時考慮幾個題目，當一個題目過不去時，便可以轉到另外一個上去。如果這些題目具有某些共通之處，那麼從某題目中得到的新想法，或許可以應用到原來的題目上去。

四十年來我研究學問，處世爲人，屢敗屢進，未曾氣餒。我一生從未放棄追尋至真至美。

事實上，我並不喜歡“天才”這名詞，差不多從來不用它。恐怕很多人都把“天才”浪漫化了，以爲那些人能無中生有，創造奇蹟，提出凡人想不出的方法，或者完成驚人的數學證明。

在電影《心靈捕手》中，主角在麻省理工把清潔工作丟下幾分鐘，就破解了數學中的老大難題。這些情況雖說並非完全不可能，但至今我未見過。

我也喜歡旅行，旅行除了是工作上所必需外，它亦能讓我接觸到無論是在學術領域內，還是在“象牙塔”外的新事物和新思想，這都是極有裨益的。

我的經驗是，解決數學難題需要艱辛的努力，沒有快捷方式可走，除非問題本身其實頗易。

受到攻擊後立時的反應是自衛，但終，我意識到的對策乃是忘記它，繼續前進。

成就大事時的三段經歷。開始時，“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”；然後是，“衣帶漸寬終不悔，爲伊消得人憔悴”；到了後，“驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”。開始時，要找到一個制高點，對整個問題有了通透的理解；然後不眠不休、廢寢忘餐地工作；後，靈光一閃，突然看到了完成證明的途徑。

“落花人獨立，微雨燕雙飛。”它精確地捕捉瞭解決卡拉比猜想之後我的心情。這個意象出現在腦海之中，乃因解決了這數學問題後，不知何故令我對大自然有了一種新的認知和感受。想到這句子，感受與自然契合，正如飛行中的雙燕般合二爲一。

相信求知和修身比賺錢重要。生命中除物質慾望外，還有很多值得追求的東西。

當你正傾注心力從事某項工作，突然發現別人在同一個問題上已佔先機，於是受驅使而奮力向前，這是司空見慣的事。只要不牽涉抄襲或其他不當的行爲，競爭是有益的。事實上，有競爭，纔有進步。

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