這套被譽為「數學教育的聖經」的著作，是偉大的數學教育家、哥廷根數學學派領袖的不朽經典，值得每一位數學教師精心研讀。菲利克斯•克萊因是傑出的數學家、熱忱的愛國者，具有非凡的科學洞見、天才的組織能力，中國尤其缺少這樣的人物。

《高觀點下的初等數學》是具有世界影響的數學教育經典，由菲利克斯•克萊因根據自己在哥廷根大學為中學數學教師及學生開設的講座所撰寫，書中充滿了他對數學教育的洞見，生動地展示了一流大師的風采。本書出版後被譯成多種文字，影響至今不衰， 對我國數學教育工作者和數學研習者很有啟發。

《高觀點下的初等數學》共分為三卷——第一卷「算術、代數、分析」，第二卷「幾何」，第三卷「精確數學與近似數學」。

菲利克斯·克萊因

（Felix Klein，1849—1925）：

德國傑出的數學家、數學史家和數學教育家，現代國際數學教育的奠基人，對數學研究和數學教育產生了巨大影響，在數學界享有崇高的聲望。

克萊因早年在群論、複變函數論和非歐幾何等領域取得了卓越的成就，1872年發表的埃爾朗根綱領是幾何學劃時代的貢獻。他是哥廷根學派公認的領袖，將許多優秀人才吸引到哥廷根大學，創造了科學研究的輝煌，為推動德國現代化發揮了巨大的作用。

克萊因聲稱本書是為中學教師和成熟的大學生寫的，但按其內容，所有對數學有一定了解的人都可以從中獲得教益和啟發……我們熱切希望我國高水平的數學多面手寫出更結合我國實際的、現代化的《高觀點下的初等數學》。這樣一本書出版，將是我國數學教育史上的一件大事。

——南開大學　吳大任

讀這本書，您會感到極有收穫，而不得不心悅誠服，不得不承認克萊因是真正的大師。

——武漢大學　齊民友

作為當時的領袖數學家，菲利克斯·克萊因的許多觀點至今仍然對數學家和數學教育工作者有所啟迪。本書反映了他對數學教育的許多觀點，被譯為多種文字，影響至今不衰。

——中國科學院　胡作玄

這是一套無比珍貴的著作，可作為大學教師和中學教師的參考書。無論就材料安排的巧妙或就討論方式的引人入勝來說，目前還沒有一本書可以同這本書相比。

——加利福尼亞大學洛杉磯分校　E.R.赫德里克

加利福尼亞大學伯克利分校　C.A.諾布爾

第一卷：算術 代數 分析

博洽內容 獨特風格

——《高觀點下的初等數學》導讀 吳大任

紀念克萊因

——介紹《高觀點下的初等數學》 齊民友

第一版序

第三版序

英文版序

前言

第一部分 算術

第一章 自然數的運算

1.1 學校里數的概念的引入

1.2 運算的基本定律

1.3 整數運算的邏輯基礎

第二章 數的概念的第一個擴張

2.1 負數

2.2 分數

2.3 無理數

第三章 關於整數的特殊性質

第四章 複數

4.1 通常的複數

4.2 高階複數，特別是四元數

4.3 四元數的乘法——旋轉和伸展

4.4 中學複數教學

附：關於數學的現代發展及一般結構

第二部分 代數

第五章 含實未知數的實方程

5.1 含一個參數的方程

5.2 含兩個參數的方程

5.3 含3個參數λ，μ，ν的方程

第六章 複數域方程

6.1 代數基本定理

6.2 含一個復參數的方程

第三部分 分析

第七章 對數函數與指數函數

7.1 代數分析的系統討論

7.2 理論的歷史發展

7.3 中學裡的對數理論

7.4 函數論的觀點

第八章 角函數

8.1 角函數理論

8.2 三角函數表

8.3 角函數的應用

第九章 關於無窮小演算本身

9.1 無窮小演算中的一般考慮

9.2 泰勒定理

9.3 歷史的與教育學上的考慮

附錄

Ⅰ. 數e和π的超越性

Ⅱ. 集合論

第二卷：幾何

第一版序

第三版序

英譯者序

前言

第四部分 最簡單的幾何形體

第十章 作為相對量的線段、面積與體積

第十一章 平面上的格拉斯曼行列式原理

第十二章 格拉斯曼空間原理

第十三章 直角坐標變換下的空間

第十四章 導出的位形

第五部分 幾 何 變 換

第十五章 仿射變換

第十六章 射影變換

第十七章 高階點變換

17.1 反演變換

17.2 某些較一般的映射射影

17.3 最一般的可逆單值連續點變換

第十八章 空間元素改變而造成的變換

18.1對偶變換

18.2相切變換

18.3某些例子

第十九章虛數理論

第六部分 幾何及其基礎的系統討論

第二十章 系統的討論

20.1 幾何結構概述

20.2 關於線性變換的不變數理論

20.3 不變數理論在幾何學上的應用

20.4 凱萊原理和仿射幾何及度量幾何的系統化

第二十一章 幾何學基礎

21.1 側重運動的平面幾何體系

21.2 度量幾何的另一種發展體系

——平行公理的作用

21.3 歐幾里得的《幾何原本》

第三卷：精確數學與近似數學

譯者的話

第一版序

第二版序

第三版序

前言

第七部分 實變函數及其在直角坐標下的表示法

第二十二章 關於單個自變數x的闡釋

22.1 經驗準確度與抽象準確度，現代實數概念

22.2 精確數學與近似數學，純粹幾何中亦有此分野

22.3 直觀與思維，從幾何的不同方面說明

22.4 用關於點集的兩個定理來闡明

第二十三章 實變數x的函數y=f(x)

23.1 函數的抽象確定和經驗確定(函數帶概念)

23.2 關於空間直觀的引導作用

23.3 自然規律的準確度(附關於物質構成的題外話)

23.4 經驗曲線的屬性：連通性、方向、曲率

23.5 關於連續函數的柯西定義和經驗曲線類似到什麼程度

23.6 連續函數的可積性

23.7 關於最大值和最小值的存在定理

23.8 4個廣義導數

23.9 魏爾斯特拉斯不可微函數；它的形象概述

23.10 魏爾斯特拉斯函數的不可微性

23.11 「合理」函數

第二十四章 函數的近似表示

24.1 用合理函數近似表示經驗曲線

24.2 用簡單解析式近似表示合理函數

24.3 拉格朗日插值公式

24.4 泰勒定理和泰勒級數

24.5 用拉格朗日多項式近似表示積分和導函數

24.6 關於解析函數及其在闡釋自然中的作用

24.7 用有窮三角級數插值法

第二十五章 進一步闡述函數的三角函數表示

25.1 經驗函數表示中的誤差估計

25.2 通過最小二乘法所得的三角級數插值

25.3 調和分析儀

25.4 三角級數舉例

25.5 切比雪夫關於插值法的工作

第二十六章 二元函數

26.1 連續性

26.2 偏導次序顛倒時2fxy≠2fyx的實例

26.3 用球函數級數近似表示球面上的函數

26.4 球函數在球面上的值分布

26.5 用有窮球函數級數作近似表示的誤差估計

第八部分 平面曲線的自由幾何

第二十七章 從精確理論觀點討論平面幾何

27.1 關於點集的若干定理

27.2 對兩個或多個不相交圓反演所產生的點集

27.3 極限點集的性質

27.4 二維連續統概念、一般曲線概念

27.5 覆蓋整個正方形的皮亞諾曲線

27.6 較狹義的曲線概念：若爾當曲線

27.7 更狹義的曲線概念：正則曲線

27.8 用正則理想曲線近似表示直觀曲線

27.9 理想曲線的可感知性

27.10 特殊理想曲線：解析曲線與代數曲線，代數曲線的格拉斯曼幾何產生法

27.11 用理想圖形表現經驗圖形：佩里觀點

第二十八章 繼續從精確理論觀點討論平面幾何

28.1 對兩個相切圓的相繼反演

28.2 對3個循環相切圓的相繼反演(「模圖形」)

28.3 4個循環相切圓的標準情況

28.4 4個循環相切圓的一般情況

28.5 所得非解析曲線的性質

28.6 這整個論述的前提，韋羅內塞的進一步理想化

第二十九章 轉入應用幾何：A.測量學

29.1 一切實際度量的不準確性，斯涅爾問題的實踐

29.2 通過多餘的度量來確定準確度，最小二乘法的原則闡述

29.3 近似計算，用關於球面小三角形的勒讓德定理來說明

29.4 地球參考橢面上最短線在測量學中的意義(附關於微分方程論的假設)

29.5 關於水準面及其實際測定

第三十章 續論應用幾何：B．作圖幾何

30.1 關於作圖幾何中一種誤差理論的假設，用帕斯卡定理的作圖說明

30.2 由經驗圖形推導理想曲線性質的可能性

30.3 對代數曲線的應用，將要用到的關於代數的知識

30.4 提出所要證明的定理：w′+2t″=n(n-2)223

30.5 證明中將採用的連續性方法

30.6 有與無二重點的Cn之間的轉化

30.7 符合定理的偶次曲線舉例

30.8 奇次曲線的例子

30.9 舉例說明證明中的連續性方法，證明的完成

第九部分 用作圖和模型表現理想圖形

第三十一章 用作圖和模型表現理想圖形

31.1 無奇點空間曲線的形狀，以C3為例(曲線的投影及其切線曲面的平面截線)

31.2 空間曲線的7種奇點

31.3 關於無奇點曲面形狀的一般討論

31.4 關於F3的二重點，特別是它的二切面重點和單切面重點

31.5 F3的形狀概述

呼籲：通過觀察自然，不斷修訂傳統科學結論

譯名對照表

譯後記