【數學的歷程】

編輯推薦

《數學的歷程》是20世紀公認的傑出數學史家、重要數學家E.T.貝爾的扛鼎之作，是對數學意義和數學觀念演變的權威解讀。在這部傑作裡，作者廣泛介紹了數學在文明演進中扮演的角色，清晰描述了公元前4000年以來數學發展史中的主要原理、方法和理論，巧妙地勾勒出數學發展歷程的主導脈絡。

內容簡介

《數學的歷程》共分二十三章，具體包括：數字的擴展、數論的普遍化、結構分析的出現、費馬之後的有理數論、來自幾何的貢獻、來自科學的推動力、從力學到普遍化的變量、從應用到抽象、微分與差分方程、不變性、函數的某些主要理論、通過物理走向普遍分析和抽象性、不確定性與概率等。

作者簡介

E.T.貝爾，作者是20世紀公認的傑出數學史家和美國重要的數學家, 因數學分析的成就，1924年獲得美國數學會（American Mathematical Society )的波謝獎( Bôcher Memorial Prize), 1927年獲得美國數學會的榮譽性講席（Colloquium Lecture），先後任教於華盛頓大學、加州理工學院，為美國科學院院士，曾任美國數學學會會長（MAA，即Mathematical Association of America）, 美國數學協會副會長(AMS，即American Mathematical Society）。

目錄

寄語本書的所有潛在讀者

第一章 概述

第二章 經驗主義的時代

第三章 牢固地確立：希臘，公元前600-公元300年

第四章 歐洲的蕭條

第五章 通過印度、阿拉伯和西班牙的歧路：400-1300年

第六章 4個世紀的過渡期：1202-1603年

第七章 現代數學的起步：1637-1687年

第八章 數的擴展

第九章 走向數學結構：1801-1910年

第十章 數論的普遍化

第十一章 結構分析的出現

第十二章 直至1902年的基數和序數

第十三章 從直覺到絕對嚴格：1700-1900年

第十四章 費馬之後的有理數論

第十五章 來自幾何的貢獻

第十六章 來自科學的推動力

第十七章 從力學到廣義變量

第十八章 從應用到抽象

第十九章 微分與差分方程

第二十章 不變性

第二十一章 函數的某些主要理論

第二十二章 通過物理走向普遍分析和抽象性

第二十三章 不確定性與概率

一般參考文獻，歷史著作

各章註釋

前言

　　將近50年前，一位美國批評家評論了李（Marius Sophus Lie，1842-1899年）在1888年發表的《變換群論》卷，用如下評述給他自己，同時也給我們奠定了基調。

　　可能其他任何一門學科都不會像數學那樣，在研習與不研習它的人面前呈現出如此截然不同的面貌。對於不研習它的人來說，它古老、莊重而完整，是一個枯燥、無可辯駁、毫不含混的理論體系。而另一方面，對於數學家來說，這門學科卻彷彿怒放的鮮花一般生機勃勃，它的分支隨處伸展，追隨著那些“可以獲致卻尚未獲得”的知識，充滿了新思想帶來的刺激；它的邏輯深受非確定性的困擾；它的分析過程如同約翰·班揚①的道路，一邊是沼澤，另一邊是深淵；它不計其數的旁枝一直延伸到蠻荒之地的邊緣。 ②

　　我們一旦超越了基礎的層次，可能就會同意，與那些對數學僅僅懷有敬畏之心的人相比，那些研習數學的人描述的事件更為精彩。因此，我們將跟隨那些研習者，探索這條約翰·班揚之路，追溯數學的發展歷程。如果我們有時候沒有註意怒放的鮮花，那是因為我們需要全心全意地投入，以免失足落入深淵，或者在細枝末節的糾纏中誤入蠻荒之地，以致誤以為那就是數學本身或者是它的歷史。至於用玫瑰重新裝飾數學木乃伊的臉頰這些困難而又精細的工作，就留給文物研究者吧。

　　在後面的章節中，我們將根據兩個因素決定材料的選取。個因素是回應許多與我聯繫的人（其中主要是大學生和學生導師）的要求，為他們提供一份數學發展歷史的綜合而廣泛的記述，著重援引那些在數學發展的過程中或多或少存留下來的主要概念和方法。第二個因素則是若干年來我與一些數學家的個人聯繫——他們在純數學和應用數學分支都進行過創造性的工作。

　　他們想要的不是一部傳統意義上的數學史，而是一部記述在數學發展史上產生關鍵作用的時代的著作。本書將用很大一部分篇幅進行學術性探討，探尋為什麼某些東西始終吸引著數學家、工程技術人員和科學工作者的興趣，而其他東西卻無人理會，或者被認為不再具有重要意義而遭到擯棄；與此同時，本書將盡可能迴避過多的細節。許多計劃學習數學只到微積分為止的人，或者在某種情況下計劃學得更少一些的人，希望了解在17世紀思想界的傑出里程碑之後，有關數學一般發展的知識，作為他們的文化教育的一部分。而那些希望繼續學習數學、科學或工程學的人也希望能從專業層面上學習更廣泛的知識。他們還給出了兩個額外的原因，其中第二個對每位職業教師都特別有益。他們相信，如果大致了解一下現存數學循之演變而來的主要方向，他們就可以更加明智地決定從哪一個數學領域獲得持久的滿足一一如果有一個的話。

　　年輕一代在成長中已經厭倦了聽人說教、指示他們應該如何思考和尊敬什麼，他們提出這種要求的第二個原因很有自己的特色。這些年輕批評家對他們未來的教育者們很坦率；他們希望能夠對別人答應教導他們的領域進行簡單的個人探索——即使只是遠遠地眺望一下，以便抵擋那些誘騙他們上當的“二道販子”的甜言蜜語，讓那些趁學生們不熟悉行情，向他們隨意兜售手中物品的陰謀無法得逞。自從1873年以來，我們似乎走過了很長的路；那時候，學究式的英國數學歷史學家和不知疲倦的枯燥教科書製造者艾薩克·托德亨特（Isaac Todhunter，1820-1884年）提出了狂熱盲從支撐下的順從模式，作為知識分子應該遵從的準則：……

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【數學：科學的女王和僕人】

內容簡介

本書從歷史的角度，深入淺出地探討了數學與科學之間的關係，對代數、幾何、數論、微積分、概率等數學概念和理論的發展，及其在科學中的應用，做出了有趣的分析，是經典的數學史著作。作者主要利用物理學和天文學去闡釋數學理論的科學應用，討論了畢達哥拉斯、阿基米德、牛頓、萊布尼茨、高斯、羅巴切夫斯基、伽羅瓦、黎曼、麥克斯韋、愛因斯坦等偉大人物的貢獻。語言幽默、犀利，既有對數學概念的嚴謹分析，又有對趣聞逸事的生動敘述，有助於讀者了解數學史、數學哲學以及數學技術的現代發展。

作者簡介

E.T.貝爾（Eric Temple Bell 1883—1960），美國著名數學家、數學史家，美國國家科學院院士，哥倫比亞大學數學博士。先後在芝加哥大學、華盛頓大學和加州理工學院任教。曾任美國數學學會（AMS）主席、美國數學協會（MAA）副主席。以他的名字命名的“貝爾數”與“貝爾多項式”是其主要的數學貢獻，曾獲美國數學學會的博歇獎（Bôcher Memorial Prize）。貝爾著述頗豐，除本書外，《數學的歷程》《數學大師》也很受讀者歡迎。

目錄

第一章 觀點

1.1 數學的對象

1.2 黃金時代

第二章 數學的真理

2.1 對數學的描述

2.2 公設法

第三章 突破界限

3.1 普通代數

3.2 改變規則

3.3 公設的來源

第四章 “一樣，但又不一樣” 

4.1 普通代數的實現

4.2 有理數、實數、可數數、不可數數、離散性、連續性、複數、分析和函數

4.3 路途的終點

第五章 抽象的藝術

5.1 興趣的改變

5.2 非普通代數

5.3 環

5.4 同態、同構、自同構

5.5 格或結構

5.6 子環、理想

5.7 子域、擴張

5.8 斜域、線性代數

第六章 由橡子長成的橡樹

6.1 變換

6.2 一個幾何問題，又見變量

6.3 矩陣

6.4 給聯合國的一項建議

6.5 自然中的不變性

6.6 西爾維斯特的先見之明

第七章 形象思維

7.1 圖像

7.2 笛卡爾的發明

7.3 不必要的困難

7.4 三項建議

7.5 直覺進入了代數

7.6 代數進入了幾何

第八章 舊的和新的里程碑

8.1 什麼是幾何？

8.2 進一步發展

8.3 多維空間

8.4 對偶性

8.5 非度量與度量

8.6 連通性

8.7 紐結

8.8 一類拓撲學

8.9 又見抽象

第九章 群

9.1 乘法表

9.2 同構、同態

9.3 复形、陪集、正規子群

9.4 置換群

9.5 解讀

9.6 無限群

9.7 二十面體

9.8 伽羅瓦理論

第十章 度量的世界

10.1 從畢達哥拉斯到笛卡爾

10.2 從笛卡爾到黎曼

10.3 從黎曼到愛因斯坦

第十一章 數學的女王

11.1 一個任性的範疇

11.2 費馬數和梅森數

11.3 素數點滴

11.4 丟番圖分析

11.5 代數數

11.6 超越數

11.7 華林猜想

11.8 女王的奴隸的女王

第十二章 抽象與預測

12.1 從麥克斯韋到雷達

12.2 兩種方法

12.3 一種解釋

第十三章 從基齊庫斯到海王星

13.1 一條皇家之路

13.2 開普勒的信念

13.3 計算加上洞察力

13.4 又見數學預測

第十四章 兩類圖像

14.1 科學中的連續性

14.2 科學中的離散性

14.3 永恆的變化

14.4 古代哲學家與現代學究

14.5 局部的自然

14.6 科學家出手干預

14.7 積分學

14.8 邊值問題

第十五章 應用數學的主要工具

15.1 變化率

15.2 高階導數

15.3 偏導數

15.4 微分方程

15.5 流體流動

15.6 積分

15.7 微積分基本定理

第十六章 微積分的發展

16.1 最大或最小

16.2 最小作用量

16.3 變分法

16.4 哈密頓的預言

16.5 複變量

16.6 保角映射

16.7 特殊函數

16.8 普遍化

第十七章 波與振動

17.1 週期性

17.2 週期性的字母

17.3 傅里葉定理

17.4 從粒子到場

第十八 章選擇與概率

18.1 概率

18.2 餡餅、飛蠅和混凝土

18.3 統計學和力學

18.4 可能性是可能的嗎？

第十九章 “擾動諸天風雲”

19.1 走向無窮

19.2 無窮是怎樣進入數學的

19.3 計數無窮

19.4 什麼“是”一個數？

19.5 戴德金分割

第二十章 基石

20.1 數學的存在

20.2 大幻象

20.3 從希爾伯特到哥德爾

20.4 致我們的後輩

索引

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【微積分概念發展史（修訂版）】

內容簡介

《微積分概念發展史》是關於微積分概念發展歷程的經典著作。作者從芝諾悖論開始，以柯西的極限理論、戴德金等人對連續性、數和無窮大理論的發展結束，系統介紹了這些概念和一系列相關探索。既有引人入勝的歷史敘述，又有對思想源流的深刻分析；不僅闡釋了數學發現的方法，而且闡明了數學思想的基礎，使讀者意識到數學不是一種技術，而是一種思維習慣。這部數學史經典值得數學教師和數學愛好者認真研讀。

作者簡介

卡爾·B. 波耶（Carl B. Boyer，1906—1976）

美國傑出的數學史家，國際科學史研究院院士。 1939年獲哥倫比亞大學數學博士學位，1952 年任紐約城市大學布魯克林學院數學教授，1954 年獲古根海姆獎，1957—1958年任美國科學史學會副主席。主要著作有 ：《微積分概念發展史》（1939 年）、《解析幾何史》（1956 年）、《彩虹：從神話 到數學》（1959 年）、《數學史》（1968 年）。

目錄

第一章 引論

第二章 古代的概念

第三章 中世紀的貢獻

第四章 一個世紀的期待

第五章 牛頓和萊布尼茨

第六章 猶豫不決的時期

第七章 嚴密的闡述

第八章 結論

參考文獻

索引

前言

大約10年前，哥倫比亞大學的弗雷德里克·巴里（Frederick Barry）教授向我指出：目前還沒有一本關於微積分歷史的滿意著作。其時，我還有別的任務纏身，準備也不充分，不可能將他的建議付諸實施；不過，我最近幾年的研究使我認可了他的觀點。關於微積分起源和主題的資料多不勝舉，本書所附的參考書目即可證明這一點；缺少的是令人滿意的批評性闡釋來細細講述該主題重要觀點的發展：從古代之肇始，到最終用每一個學生都熟悉的現代數學分析基本原理的精確術語對此進行闡述。本書試圖在某種程度上彌補這一缺憾。如果能對初等微積分的整個歷史加以權威和全面的處理，那當然再好不過；但是，此類艱鉅的計劃會遠遠超出本書論述的範圍和意圖。這裡涉及的並非微積分的全面歷史，而只是提示性地勾勒出其基本概念的發展輪廓，這也許對學習數學的學生和研究思想史的學者都會有所裨益。因此，貫穿全書的主旨是確保闡釋清楚明白，而不是雜亂無章地詳細羅列各種細節，或者展示過於細緻、精確的廣博知識。本書既要保證思想發展的連貫性，同時又不希望犧牲歷史的準確度和整體觀，因此很有必要理性地篩选和表述這些材料。

本書的結尾部分包括一份長長的參考文獻，以省去在腳註引述完整書目信息的麻煩。腳註只標明作者和題名——有時為縮寫；書名採用斜體，期刊文章採用羅馬正體並加上引號。我期望這個參考書目可以為有興趣進一步研究微積分歷史的人帶來幫助。

巴里教授給了筆者創作並完成本書的靈感。在我寫作過程中，他憑藉科學史領域的廣博知識，屢屢慷慨地提出建議。承蒙哥倫比亞大學的林恩·桑代克（Lynn Thorndike）教授幫我審讀了“中世紀的貢獻”一章並做出專業的評論。哥倫比亞大學的L.P.賽斯洛夫（L.P.Siceloff）教授、密歇根大學的L.C.卡爾平斯基（L.C.Karpinski）教授和布魯克林學院的H.F.麥克尼什（H.F.MacNeish）教授也幫我閱讀了手稿並提供了寶貴的幫助和建議。波耶夫人毫不吝嗇地對這項工作給予鼓勵和幫助，並不辭辛勞地打出全部文稿。本書的索引由哥倫比亞大學出版社編制。最後，美國學術團體聯合會（American Council of Learned Societies）撥款資助了本書，才使之得以出版，與廣大讀者見面。在此，我謹向所有在寫作和出版本書過程中給予了幫助的朋友表示真誠的感謝。

卡爾·B.波耶

1939年1月3日於布魯克林學院

重印本前言

對於一本有關微積分歷史的著作，能有足夠的重印需求，真是令人欣喜。這似乎表明，學術圈中正有越來越多的人意識到，需要以廣闊的視野看待科學和數學。儘管已在技術上取得了卓越成就，人們卻更深刻地認同這一事實：科學不僅是一種生活方式，也是一種心智習慣；數學不僅是算法的集合，也是文化的一個方面。數學和科學史雖不能代替實驗室的工作或者技術訓練，但能有效彌補人文科學與自然科學之間常常缺乏理解的遺憾。也許更重要的是，能夠使各個領域的專業人員具有與其專業相稱的文化修養。熟悉自己專業背景的學者，不大會像新手常常經歷的那樣，有一種似是而非的已成定局的感覺。正是出於這一原因，準備做教師的人，不僅要了解本專業的內容，還應該了解其發展的歷史，這才是明智之舉。

藉此次重印，筆者更正了文中的幾處小錯誤。如果是再版，還應該做更廣泛的修訂。這並不會在實質上改變總體的敘述或者觀點，但我會按照胡利奧·雷·帕斯托爾（Julio Rey Pastor）其評論見《國際科學史檔案》（Archeion）雜誌，卷XXIII（1940年），第199—203頁。和I.B.科恩（I.B.Cohen）其評論見《伊西斯》（Isis）雜誌，卷XXXII（1940年），第205—210頁。等人的中肯評論，在他們建議的地方詳細闡明論點。本來還應該加上更多參考書目，其中尤其值得一提的是G.卡斯泰爾諾沃（G.Castelnuovo）的《現代微積分的起源》（Le origini del calcolo infinitesimale nell era moderna，1938年出版於博洛尼亞）。卡氏的著作幾乎與本書同時出版，關於現代部分，讀者們應該在細節上多參考這位著名幾何學家的著作。

在過去的幾年裡，筆者還參與撰寫了一本關於解析幾何史的手冊，書稿已經完成，不久就會在《數學文叢》（Scripta Mathematica）的讚助下付梓。

《微積分概念發展史》已經絕版六七年，此次重印應歸功於赫伯特·阿克塞爾羅德（Herbert Axelrod）和馬丁·N.賴特（Martin N.Wright），筆者對他們主動提出重印表示感謝。還要感謝理查德·柯朗（Richard Courant），承蒙他答應了為這個重印本撰寫序言。

卡爾·B.波耶

1949年1月27日

譯者後記

《微積分概念發展史》不只是一部關於數學史和數學哲學的史論，實際上也是一部內涵非常豐富的哲學思想史著作。例如，波耶分析牛頓與萊布尼茨的分野，勝義迭出，令人擊節。流數法與微分法雙峰並峙，各擅勝場，其邏輯與哲學基礎，昭示英倫科學經驗主義與歐陸思辨形而上學的二水分流。這本書篇幅不長，但全是乾貨。上下兩千年，區區二三十萬字，極為簡練，卻能原原本本、直擊關節要害，真正為大家手筆。本人從中得到了極大教益，其中觸類旁通的啟示尤其令人印象深刻，因此對波耶的這部著作充滿感激。

此書早有上師大數學系的譯本（上海人民出版社1979年版），能直接採用是最好的。但是聯繫譯文版權非常困難，因為原譯者是一個單位，這個單位早已不存在了。只好接受當年參與此書翻譯的一位譯者的建議——重譯。他的理由是，聯繫到當年所有參與翻譯的譯者不太可能，有的譯者已經故世，何況究竟有哪些人參與，連他也不清楚。後來我們發現還有一個理由：原譯本有刪節。

一時興起，奮臂自為，現在看來真是一個自不量力的莽撞決定。波耶的博學令人嘆服，單憑我們的水平，哪裡能勝任，幸虧背後有許多高人支撐。青年翻譯家焦曉菊小姐有相當豐富的翻譯經驗，她的幫助為這項工作墊了底。 《科學》雜誌的優秀編輯田廷彥先生通讀譯稿，消滅了許多差錯。書中英文以外的難題，如法語、德語、意大利語及拉丁語，大部分是請數學史家胡作玄老先生幫忙解決的。畢業於復旦大學數學系的姚詩偉先生對譯文逐一糾謬，我們的感激自不待言。如果不是資深數學編輯范仁梅老師的超常耐心和寬容，此事可能就中途放棄了。

譯者在“信”方面下了功夫，也力求做到“達”，“雅”則望之莫及。譯文會有這樣那樣的問題，一定是水平有限，而非態度缺失。

以書會友是一大樂事，期待能收到諸位讀者的批評和建議，也歡迎有志於翻譯的同仁（無論學科）與我們聯繫，大家一起努力，為數學文化的編譯事業做些有益的工作。漢唐盛世，受益於異域文明的傳入和引進，當今也不例外。景仰唐三藏歷經劫難取經譯經的偉大，故取此筆名以示嚮往。

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【數學思想簡史】

內容簡介

本書是一部簡潔易懂、兼顧歷史敘述與主題討論的數學思想指南。作者從數學語言和概念演變的角度入手，生動地闡述了古希臘數學家如畢達哥拉斯、歐幾里得、阿基米德如何塑造了早期數學邏輯，斐波那契數列、代數的興起及微積分的發明之間的牽連，以及20世紀圖靈在計算概念上的革命工作對現代世界做出的重要貢獻。從石器時代的儀式到代數、微積分、無窮和計算的概念，數學語言的每一次演變，都促進了新技術的發展，影響了人類對世界的理解和探索。本書不僅回溯了數學實踐的迷人歷史，還展現了數學在人類理解世界的過程中扮演的重要角色。

作者簡介

盧克·希頓（Luke Heaton）， 以“數學學科一等榮譽學士”學位畢業於愛丁堡大學，之後獲得牛津大學數學與計算機邏輯基礎碩士學位、數學生物學博士學位。現擔任牛津大學植物科學系助理研究員，研究興趣主要是數學史與數學哲學、生物現象的數學建模等。

目錄

第一章　開端

1.1　語言與目的

1.2　人類認知與數學的含義

1.3　石器時代的儀式與自行產生的符號

1.4　創造清晰的模式

1.5　事實的存儲

1.6　巴比倫、埃及和希臘

1.7　圓的邏輯

1.8　數學的真實性

第二章　從希臘到羅馬

2.1　早期希臘數學

2.2　畢達哥拉斯科學

2.3　柏拉圖與對稱形式

2.4　歐幾里得幾何

2.5　歐幾里得算法

2.6　阿基米德

2.7　羅馬時期的亞歷山大港

第三章　比率與比例

3.1　測量與計數

3.2　歸謬法

3.3　歐多克索斯、戴德金與分析的誕生

3.4　循環小數與戴德金分割

3.5　連分數

3.6　二次方程式與黃金分割比率

3.7　無理性的結構

3.8　斐波那契數列

第四章　代數的興起

4.1　零與數位制

4.2　花拉子密與方程式的科學

4.3　代數與中世紀的歐洲

4.4　費馬小定理

4.5　如何製造數學掛鎖

第五章　力學與微積分

5.1　分析學的起源

5.2　測量世界

5.3　時鐘的時代

5.4　笛卡爾坐標

5.5　線性序與數軸

5.6　艾薩克·牛頓

5.7　微積分基本定理

5.8　從代數到變化率

第六章　萊昂哈德·歐拉與哥尼斯堡的橋

6.1　萊昂哈德·歐拉

6.2　哥尼斯堡的橋

6.3　如何畫出一個網絡

6.4　柏拉圖立體再研究

6.5　龐加萊與拓撲學的誕生

第七章　歐幾里得第五公設與重新發明幾何

7.1　測量與方向

7.2　非歐幾里得幾何

7.3　空間曲率

7.4　幾何的統一與多樣性

7.5　對稱與群

7.6　古怪的左與右

7.7　莫比烏斯帶

第八章　與無窮打交道

8.1　布萊茲·帕斯卡與數學中的無窮

8.2　循環論證

8.3　數學上的無窮大

8.4　康托爾的對

8.5　對角線方法

第九章　邏輯形式的結構

9.1　形式邏輯——“且”“或”“非”

9.2　經典邏輯與排中律

9.3　機械演繹

9.4　量詞與性質

9.5謂詞演算的輸入

9.6公理集合論

第十章　艾倫·圖靈與計算的概念

10.1　從機械演繹到可編程機器

10.2　描繪計算

10.3　確定型語言遊戲

10.4　丘奇論題

10.5　判定問題

10.6　圖形與基

10.7　半可判定問題

第十一章　庫爾特·哥德爾與多項式的威力

11.1　馬季亞謝維奇定理

11.2　庫爾特·哥德爾

11.3　尋找答案

11.4　算術不完備

11.5　真理、證明與自洽

第十二章　為世界建立模型

12.1　科學與模型的使用

12.2　秩序與混沌

12.3　理論生物學

12.4　相互作用與動態系統

12.5　整體論與湧現現象

第十三章　生活經驗與事實的本質

13.1　規則與事實

13.2　數學的客觀性

13.3　意義與目的

進一步閱讀的材料

致謝

索引

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【數學的精神、思想和方法】

內容簡介

數學知識與計算只是第二位的，最重要的是培育學生的數學素養。很多研習數學的人，特別是數學教師，深受這部數學啟蒙名著的啟發，理解了數學的精髓，找到了數學教育的真諦。

本書是非常有影響的數學教育名著，精闢論述了數學的精神實質、思想、方法，為讀者勾畫出了整個近代數學的沿革和它多姿多彩的面貌。對於如何向學生傳授數學的精神、思想和方法，作者提出了很多有價值的見解。本書風趣生動，彷彿是一位長者在講述一個曲折、奇妙又頗具啟發性的故事。本書是長銷不衰的數學啟蒙佳作，深受數學教師和數學愛好者的歡迎。

作者簡介

米山國藏（1877—1968），日本著名數學教育家。生於神奈川縣，1908年畢業於京都大學理學部數學科，1918年獲理學博士學位，1922年任九州帝國大學教授。主要著作有：《數學的精神、思想和方法》《數學的基礎》《實變函數論》。

目錄

第一編 貫穿在整個數學中的精神、思想和方法

第一章 貫穿在整個數學中的精神

第一節 活動於解決實際問題中的數學精神

第二節 數學的精神活動的諸方面

第二章 重要的數學思想

第一節 “數學的本質在於思考的充分自由”

第二節 傳統思想與數學進步的關係

第三節 極限思想

第四節 “不定義的術語組”和“不證明的命題組”的思想

第五節 構成了近代數學基幹的集合及群的思想

第六節 其他新思想

第七節 高維空間的思想，二維空間、四維空間

第八節 超窮數的思想

第九節 數學家頭腦中的空間

第十節 數學的神秘性和數學的美

第三章 整個數學中使用著的重要的研究方法、證明方法

第一節 研究方法、證明方法

第二節 論證方法的本質，推理方法

第一編的結論

第二編 由前述思想引起的數學的發展進步情況

第一章 發展變化中的近代數學的面貌

第一節 數學發展的狀況

第二節 數學基礎方面的根本變化

第三節 考察近代數學較傳統數學有顯著變化的3個方面

第四節 數學發展的4個方向

第五節 全數學的概觀

第六節 近代數學的意義

第二章 數學發展的方法，數學發現所需要的精神活動，以及數學發現者的素質

第一節 數學發展的方法（擴張法和發現法）

第二節 數學發現中的精神活動、數學發現

第三節 數學研究者頭腦的要素

第四節 從數學發現的角度考察對數及對數概念的歷史發展

第三章 從創作的素質上看

第一節 愛迪生的數學素質和數學教育

第二節 歌德與自然科學

第四章 數學中的悖論以及克服悖論的思想方法

第一節 在數學中悖論尤其重要的理由

第二節 悖論的實例以及悖論產生的原因

第三節 悖論的特徵及其解決辦法2

第四節 新直覺派對於排中律的辯駁（我個人的結論）

第三編 作為純數學的精神活動產物的數學基礎作為新思想源泉的數學基礎作為從根本

上推翻原有數學的本質、思想和意義的數學基礎

第一章 數學的實驗的、直覺的和心理的基礎

第一節 數學基礎中貫穿的邏輯與經驗

第二節 幾何學的經驗基礎

第三節 邏輯代數學的梗概及其在數學中的應用

第四節 幾何學的心理和感覺基礎

第五節 數概念的經驗的、直覺的和心理的基礎

第二章 數學的邏輯的、學術的基礎，數學的新精神、新思想、新方法的好範例

引言

第一節 數學本質發生變化的誘因，數學家為解決平行公設煞費苦心兩千多年

的失敗的歷史

第二節 平行線問題的解決

第三節 為什麼必須承認相互矛盾的幾何學同時成立（理論根據和實驗根據）

第四節 平行線問題的解決給基礎數學的發展帶來的影響

第五節 解決平行線問題所產生的影響

第六節 建立在新觀點上的數學的意義，完整地建立起數學的基礎

第七節 數係的邏輯基礎

第三編的結論

附錄 “所有的三角形都是等腰三角形”的證明及其錯誤

外國人名譯名對照表

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【精彩的數學錯誤】

內容簡介

數學錯誤同樣是數學進步的基石，蘊含著不可估量的價值。數學錯誤固然沒有使我們達到預期的此岸，卻可能會引導我們通往更為精彩的彼岸。本書視角獨特，題材新穎，趣味盎然，是一部促進數學教育、理解數學本質的佳作。

這是一部探究“數學錯誤”獨特價值的極簡數學史。兩位資深的數學教育家用生動的筆觸分析了數學史上各種“精彩的數學錯誤”，做出了令人意外的解答：在數學研究過程中，即使方法、步驟正確，結果也可能會是錯誤的；但是“數學錯誤”有可能帶來意想不到的發現，甚至成為重大突破的開端。

本書行文流暢，內容豐富，閱讀它不需要太高深的數學知識，但無論是數學高手還是初學者都能從中獲得樂趣和啟發，從而更好地把握數學的特徵與規律。

作者簡介

阿爾弗雷德·S.波薩門蒂爾（Alfred S. Posamentier）：

美國著名教育家、數學教育博士、《紐約時報》撰稿人，曾任紐約市立大學城市學院教育學院院長，出版了（包括合著）60多部數學理論和數學教育領域的著作。 1994年，因在數學教育領域作出的傑出貢獻，被紐約市立大學城市學院校友會授予“年度教育家”稱號，同年獲得奧地利共和國服務榮譽勳章；2004年，獲得由奧地利總統頒發的奧地利科學與藝術十字勳章。

英格瑪·萊曼（Ingmar Lehmann）：

德國數學教育家，曾任教於柏林洪堡大學數學系，長期致力於數學教育；熱衷於數學普及，多年主持柏林數學精英學生的培養工作。主要研究方向為計算機輔助的數學教育，撰有多部數學文化和數學教育方面的著作，具有廣泛的影響。

目錄

致謝

前言

第一章著名數學家犯的引人注目的錯誤

第二章算術中的錯誤

第三章代數中的錯誤

第四章幾何中的錯誤

第五章概率論和統計學中的錯誤

結論

註釋

參考書目