【數學思想簡史】

內容簡介

本書是一部簡潔易懂、兼顧歷史敘述與主題討論的數學思想指南。作者從數學語言和概念演變的角度入手，生動地闡述了古希臘數學家如畢達哥拉斯、歐幾里得、阿基米德如何塑造了早期數學邏輯，斐波那契數列、代數的興起及微積分的發明之間的牽連，以及20世紀圖靈在計算概念上的革命工作對現代世界做出的重要貢獻。從石器時代的儀式到代數、微積分、無窮和計算的概念，數學語言的每一次演變，都促進了新技術的發展，影響了人類對世界的理解和探索。本書不僅回溯了數學實踐的迷人歷史，還展現了數學在人類理解世界的過程中扮演的重要角色。

作者簡介

盧克·希頓（Luke Heaton）， 以“數學學科一等榮譽學士”學位畢業於愛丁堡大學，之後獲得牛津大學數學與計算機邏輯基礎碩士學位、數學生物學博士學位。現擔任牛津大學植物科學系助理研究員，研究興趣主要是數學史與數學哲學、生物現象的數學建模等。

目錄

第一章　開端

1.1　語言與目的

1.2　人類認知與數學的含義

1.3　石器時代的儀式與自行產生的符號

1.4　創造清晰的模式

1.5　事實的存儲

1.6　巴比倫、埃及和希臘

1.7　圓的邏輯

1.8　數學的真實性

第二章　從希臘到羅馬

2.1　早期希臘數學

2.2　畢達哥拉斯科學

2.3　柏拉圖與對稱形式

2.4　歐幾里得幾何

2.5　歐幾里得算法

2.6　阿基米德

2.7　羅馬時期的亞歷山大港

第三章　比率與比例

3.1　測量與計數

3.2　歸謬法

3.3　歐多克索斯、戴德金與分析的誕生

3.4　循環小數與戴德金分割

3.5　連分數

3.6　二次方程式與黃金分割比率

3.7　無理性的結構

3.8　斐波那契數列

第四章　代數的興起

4.1　零與數位制

4.2　花拉子密與方程式的科學

4.3　代數與中世紀的歐洲

4.4　費馬小定理

4.5　如何製造數學掛鎖

第五章　力學與微積分

5.1　分析學的起源

5.2　測量世界

5.3　時鐘的時代

5.4　笛卡爾坐標

5.5　線性序與數軸

5.6　艾薩克·牛頓

5.7　微積分基本定理

5.8　從代數到變化率

第六章　萊昂哈德·歐拉與哥尼斯堡的橋

6.1　萊昂哈德·歐拉

6.2　哥尼斯堡的橋

6.3　如何畫出一個網絡

6.4　柏拉圖立體再研究

6.5　龐加萊與拓撲學的誕生

第七章　歐幾里得第五公設與重新發明幾何

7.1　測量與方向

7.2　非歐幾里得幾何

7.3　空間曲率

7.4　幾何的統一與多樣性

7.5　對稱與群

7.6　古怪的左與右

7.7　莫比烏斯帶

第八章　與無窮打交道

8.1　布萊茲·帕斯卡與數學中的無窮

8.2　循環論證

8.3　數學上的無窮大

8.4　康托爾的對

8.5　對角線方法

第九章　邏輯形式的結構

9.1　形式邏輯——“且”“或”“非”

9.2　經典邏輯與排中律

9.3　機械演繹

9.4　量詞與性質

9.5謂詞演算的輸入

9.6公理集合論

第十章　艾倫·圖靈與計算的概念

10.1　從機械演繹到可編程機器

10.2　描繪計算

10.3　確定型語言遊戲

10.4　丘奇論題

10.5　判定問題

10.6　圖形與基

10.7　半可判定問題

第十一章　庫爾特·哥德爾與多項式的威力

11.1　馬季亞謝維奇定理

11.2　庫爾特·哥德爾

11.3　尋找答案

11.4　算術不完備

11.5　真理、證明與自洽

第十二章　為世界建立模型

12.1　科學與模型的使用

12.2　秩序與混沌

12.3　理論生物學

12.4　相互作用與動態系統

12.5　整體論與湧現現象

第十三章　生活經驗與事實的本質

13.1　規則與事實

13.2　數學的客觀性

13.3　意義與目的

進一步閱讀的材料

致謝

索引

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【數學的精神、思想和方法】

內容簡介

數學知識與計算只是第二位的，最重要的是培育學生的數學素養。很多研習數學的人，特別是數學教師，深受這部數學啟蒙名著的啟發，理解了數學的精髓，找到了數學教育的真諦。

本書是非常有影響的數學教育名著，精闢論述了數學的精神實質、思想、方法，為讀者勾畫出了整個近代數學的沿革和它多姿多彩的面貌。對於如何向學生傳授數學的精神、思想和方法，作者提出了很多有價值的見解。本書風趣生動，彷彿是一位長者在講述一個曲折、奇妙又頗具啟發性的故事。本書是長銷不衰的數學啟蒙佳作，深受數學教師和數學愛好者的歡迎。

作者簡介

米山國藏（1877—1968），日本著名數學教育家。生於神奈川縣，1908年畢業於京都大學理學部數學科，1918年獲理學博士學位，1922年任九州帝國大學教授。主要著作有：《數學的精神、思想和方法》《數學的基礎》《實變函數論》。

目錄

第一編 貫穿在整個數學中的精神、思想和方法

第一章 貫穿在整個數學中的精神

第一節 活動於解決實際問題中的數學精神

第二節 數學的精神活動的諸方面

第二章 重要的數學思想

第一節 “數學的本質在於思考的充分自由”

第二節 傳統思想與數學進步的關係

第三節 極限思想

第四節 “不定義的術語組”和“不證明的命題組”的思想

第五節 構成了近代數學基幹的集合及群的思想

第六節 其他新思想

第七節 高維空間的思想，二維空間、四維空間

第八節 超窮數的思想

第九節 數學家頭腦中的空間

第十節 數學的神秘性和數學的美

第三章 整個數學中使用著的重要的研究方法、證明方法

第一節 研究方法、證明方法

第二節 論證方法的本質，推理方法

第一編的結論

第二編 由前述思想引起的數學的發展進步情況

第一章 發展變化中的近代數學的面貌

第一節 數學發展的狀況

第二節 數學基礎方面的根本變化

第三節 考察近代數學較傳統數學有顯著變化的3個方面

第四節 數學發展的4個方向

第五節 全數學的概觀

第六節 近代數學的意義

第二章 數學發展的方法，數學發現所需要的精神活動，以及數學發現者的素質

第一節 數學發展的方法（擴張法和發現法）

第二節 數學發現中的精神活動、數學發現

第三節 數學研究者頭腦的要素

第四節 從數學發現的角度考察對數及對數概念的歷史發展

第三章 從創作的素質上看

第一節 愛迪生的數學素質和數學教育

第二節 歌德與自然科學

第四章 數學中的悖論以及克服悖論的思想方法

第一節 在數學中悖論尤其重要的理由

第二節 悖論的實例以及悖論產生的原因

第三節 悖論的特徵及其解決辦法2

第四節 新直覺派對於排中律的辯駁（我個人的結論）

第三編 作為純數學的精神活動產物的數學基礎作為新思想源泉的數學基礎作為從根本

上推翻原有數學的本質、思想和意義的數學基礎

第一章 數學的實驗的、直覺的和心理的基礎

第一節 數學基礎中貫穿的邏輯與經驗

第二節 幾何學的經驗基礎

第三節 邏輯代數學的梗概及其在數學中的應用

第四節 幾何學的心理和感覺基礎

第五節 數概念的經驗的、直覺的和心理的基礎

第二章 數學的邏輯的、學術的基礎，數學的新精神、新思想、新方法的好範例

引言

第一節 數學本質發生變化的誘因，數學家為解決平行公設煞費苦心兩千多年

的失敗的歷史

第二節 平行線問題的解決

第三節 為什麼必須承認相互矛盾的幾何學同時成立（理論根據和實驗根據）

第四節 平行線問題的解決給基礎數學的發展帶來的影響

第五節 解決平行線問題所產生的影響

第六節 建立在新觀點上的數學的意義，完整地建立起數學的基礎

第七節 數係的邏輯基礎

第三編的結論

附錄 “所有的三角形都是等腰三角形”的證明及其錯誤

外國人名譯名對照表

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【精彩的數學錯誤】

內容簡介

數學錯誤同樣是數學進步的基石，蘊含著不可估量的價值。數學錯誤固然沒有使我們達到預期的此岸，卻可能會引導我們通往更為精彩的彼岸。本書視角獨特，題材新穎，趣味盎然，是一部促進數學教育、理解數學本質的佳作。

這是一部探究“數學錯誤”獨特價值的極簡數學史。兩位資深的數學教育家用生動的筆觸分析了數學史上各種“精彩的數學錯誤”，做出了令人意外的解答：在數學研究過程中，即使方法、步驟正確，結果也可能會是錯誤的；但是“數學錯誤”有可能帶來意想不到的發現，甚至成為重大突破的開端。

本書行文流暢，內容豐富，閱讀它不需要太高深的數學知識，但無論是數學高手還是初學者都能從中獲得樂趣和啟發，從而更好地把握數學的特徵與規律。

作者簡介

阿爾弗雷德·S.波薩門蒂爾（Alfred S. Posamentier）：

美國著名教育家、數學教育博士、《紐約時報》撰稿人，曾任紐約市立大學城市學院教育學院院長，出版了（包括合著）60多部數學理論和數學教育領域的著作。 1994年，因在數學教育領域作出的傑出貢獻，被紐約市立大學城市學院校友會授予“年度教育家”稱號，同年獲得奧地利共和國服務榮譽勳章；2004年，獲得由奧地利總統頒發的奧地利科學與藝術十字勳章。

英格瑪·萊曼（Ingmar Lehmann）：

德國數學教育家，曾任教於柏林洪堡大學數學系，長期致力於數學教育；熱衷於數學普及，多年主持柏林數學精英學生的培養工作。主要研究方向為計算機輔助的數學教育，撰有多部數學文化和數學教育方面的著作，具有廣泛的影響。

目錄

致謝

前言

第一章著名數學家犯的引人注目的錯誤

第二章算術中的錯誤

第三章代數中的錯誤

第四章幾何中的錯誤

第五章概率論和統計學中的錯誤

結論

註釋

參考書目