【計算機科學中的數學】

編輯推薦

√穀歌軟體工程大牛與MIT資深教授強強聯手貫通產學界的案頭寶典。

√薈萃歷經60餘年沉澱積累、不斷優化更新的CS方向數學知識精華。

√人工智慧時代數學成為AI從業敲門磚，走向覈心崗位的內家心法。

√內容炸裂，知識點無死角，給譽為“*有趣的數學講義”。

內容簡介

本書原為麻省理工學院計算機科學與工程專業的數學課程講義，穀歌科技專家參與編寫，涵蓋計算機科學涉及的全部基礎數學知識，包括形式邏輯符號、數學證明、歸納、集合與關係、圖論基礎、排列與組合、計數原理、離散概率、遞迴等，特別強調數學定義、證明及其應用方法。 本書因具有系統、完整，以及有趣、易讀等明顯優勢，現已被全球IT科技相關從業者及准從業者奉為圭臬、廣泛傳閱，在人工智慧日益普及的全新資訊時代，更是大放异彩。 本書適合電腦相關專業學生及從業人員作為數學入門教材，亦可作為統計、機器學習、資料挖掘等課程的寶貴資料。

作者簡介

唐李洋女，博士，畢業於合肥工業大學管理科學與工程系。 現就職於中國電子科技集團公司第三十八研究所，曾遊學美國，資料挖掘與大資料分析研究經驗頗豐，在相關領域重要國際期刊及會議發表論文數篇。 譯有《高可用MySQL》（第1版和第2版）、《R高性能編程》、《大數據猩球：海量數據處理實踐指南》、《流式架構：Kafka與MapR Streams數據流處理》等圖書。

劉傑男，博士，南開大學教授、博士生導師。 研究領域包括機器學習與資料挖掘方面的理論方法研究，以及面向資訊抽取、網絡挖掘、對話生成等問題的應用研究。 在機器學習、資料挖掘領域重要國際期刊及會議發表論文多篇。 擔任中國電腦學會中文資訊技術專家委員會、中國電腦學會大數據專家委員會、人工智慧學會機器學習專家委員會等多個專家委員會委員及通訊委員。 相關成果獲得天津市科技進步二等獎兩項。

譚昶男，博士，畢業於中國科學技術大學電腦應用與科技系。 現任科大訊飛股份有限公司大數據研究院執行院長兼智慧都市事業群副總裁，中國電腦學會公共政策委員會執行委員及大數據專家委員會委員。 負責科大訊飛公司智慧都市、計算廣告和個性化推薦等方向的大數據核心技術研發及應用推廣工作，在大數據科技、個性化推薦方面有著多年的研究和實踐經驗。

金博男，博士，大連理工大學教授。 致力於資料挖掘、大資料分析、創新管理、商務智能等領域的科學研究。 主持和參與多項和省部級課題，在相關領域重要國際期刊及會議上發表論文60餘篇，並擔任資料挖掘領域三大會議KDD、ICDM、SDM的程式委員會委員，是ACM、IEEE和CCF高級會員。

馬海平女，博士，畢業於中國科學技術大學計算機科學與科技系。 現就職於科大訊飛股份有限公司，擔任大數據研究院研究首長，從事資料挖掘與人工智慧算灋以及計算廣告和個性化教育等領域的研究工作。 在國際知名期刊和學術會議發表論文7篇，合著出版著作《Spark機器學習進階實戰》《Spark核心技術與高級應用》。 朱琛男，碩士，畢業於中國科學技術大學，百度資深資料挖掘工程師。 現就職於百度人才智庫（Talent Intelligence Center），從事人力資源智能化研究，致力於用AI為HR賦能。 研究方向包括文字資料挖掘、社交網絡分析、圖資料挖掘。 在國際會議與期刊雜誌發表論文十餘篇，申請專利十餘項，曾擔任數個國際會議（KDD、SDM等）程式委員會委員。

目錄

第I部分數學證明

引言3

0.1參考文獻4

第1章什麼是證明5

1.1命題5

1.2謂詞8

1.3公理化方法8

1.4我們的公理9

1.4.1邏輯推理9

1.4.2證明的模式10

1.5證明蘊涵10

1.5.1方法#1 11

1.5.2方法#2：證明逆反命題12

1.6證明“當且僅當”13

1.6.1方法#1：證明兩個語句相互蘊涵13

1.6.2方法#2：構建iff鏈13

1.7案例證明法14

1.8反證法15

1.9數學證明的優秀實踐16

1.10參考文獻18

1.1節習題18

1.5節習題21

1.7節習題21

1.8節習題23

第2章良序原理26

2.1良序證明26

2.2良序證明範本27

2.2.1整數求和27

2.3質因數分解29

2.4良序集合29

2.4.1不一樣的良序集合（選學）30

2.2節習題31

2.4節習題38

第3章邏輯公式40

3.1命題的命題41

3.1.1 NOT，AND和OR 41

3.1.2當且僅當42

3.1.3 IMPLIES 42

3.2電腦程式的命題邏輯44

3.2.1真值表計算45

3.2.2符號表示46

3.3等價性和有效性47

3.3.1蘊涵和逆否47

3.3.2永真性和可滿足性48

3.4命題代數49

3.4.1命題範式49

3.4.2等價性證明50

3.5 SAT問題53

3.6謂詞公式54

3.6.1量詞54

3.6.2混合量詞55

3.6.3量詞的順序56

3.6.4變數與域56

3.6.5否定量詞57

3.6.6謂詞公式的永真性57

3.7參考文獻58

3.1節習題59

3.2節習題61

3.3節習題65

3.4節習題68

3.5節習題69

3.6節習題71

第4章數學資料類型79

4.1集合79

4.1.1常用集合80

4.1.2集合的比較和組合80

4.1.3幂集81

4.1.4集合構造器標記82

4.1.5證明集合相等82

4.2序列83

4.3函數84

4.3.1域和像84

4.3.2函數複合86

4.4二元關係86

4.4.1關係圖87

4.4.2關係的像89

4.5有限基數90

4.5.1有限集有多少個子集91

4.1節習題92

4.2節習題96

4.4節習題97

4.5節習題105

第5章歸納法107

5.1一般歸納法107

5.1.1一般歸納法的規則108

5.1.2舉例說明108

5.1.3歸納法證明的範本109

5.1.4一般歸納法的簡潔寫法110

5.1.5更複雜的例子111

5.1.6錯誤的歸納證明113

5.2强歸納法115

5.2.1强歸納法的規則115

5.2.2斐波那契數列116

5.2.3質數的乘積117

5.2.4找零問題118

5.2.5堆盒子遊戲119

5.3强歸納法、一般歸納法和良序法的比較120

5.1節習題121

5.2節習題131

第6章狀態機136

6.1狀態和轉移136

6.2不變性原理137

6.2.1沿對角線移動的機器人137

6.2.2不變性原理的定義139

6.2.3示例：《虎膽龍威》141

6.3偏序正確性和終止性143

6.3.1快速求幂143

6.3.2派生變數145

6.3.3基於良序集合的終止性（選學）146

6.3.4東南方向跳躍的機器人（選學）146

6.4穩定的婚姻147

6.4.1配對儀式148

6.4.2我們結婚吧150

6.4.3他們從此幸福地生活在一起150

6.4.4竟然是男性……151

6.4.5應用152

6.3節習題153

6.4節習題165

第7章遞迴資料類型172

7.1遞迴定義和結構歸納法172

7.1.1結構歸納法174

7.2匹配帶括弧的字串175

7.3非負整數上的遞迴函數179

7.3.1 N上的一些標準遞迴函數179

7.3.2不規範的函數定義179

7.4算術運算式181

7.4.1 Aexp的替換和求值181

7.5計算機科學中的歸納185

7.1節習題185

7.2節習題193

7.3節習題201

7.4節習題202

第8章無限集206

8.1無限基數集206

8.1.1不同之處209

8.1.2可數集209

8.1.3幂集的勢嚴格大於原集合211

8.1.4對角線證明213

8.2停止問題214

8.3集合邏輯217

8.3.1羅素悖論217

8.3.2集合的ZFC公理系統218

8.3.3避免羅素悖論220

8.4這些真的有效嗎220

8.4.1計算機科學中的無窮大221

8.1節習題221

8.2節習題228

8.3節習題233

8.4節習題236

第Ⅱ部分結構

引言241

第9章數論242

9.1整除242

9.1.1整除的性質243

9.1.2不可整除問題244

9.1.3终极警探245

9.2公約數247

9.2.1歐幾裡得算灋247

9.2.2粉碎機249

9.2.3水壺問題的通解251

9.2.4公約數的性質252

9.3質數的奧秘253

9.4算術基本定理255

9.4.1分解定理的證明256

9.5阿蘭·圖靈257

9.5.1圖靈編碼（1.0版）258

9.5.2破解圖靈編碼（1.0版）260

9.6模運算260

9.7餘運算262

9.7.1環Z_ n 264

9.8圖靈編碼（2.0版）265

9.9倒數與約去266

9.9.1互質267

9.9.2約去268

9.9.3解密（2.0版）268

9.9.4破解圖靈編碼（2.0版）269

9.9.5圖靈後記269

9.10歐拉定理271

9.10.1計算歐拉？ 函數273

9.11 RSA公開金鑰加密274

9.12 SAT與RSA有什麼關係276

9.13參考文獻277

9.1節習題277

9.2節習題278

9.3節習題285

9.4節習題285

9.6節習題287

9.7節習題288

9.8節習題293

9.9節習題293

9.10節習題295

9.11節習題303

第10章有向圖和偏序309

10.1頂點的度311

10.2路和通路311

10.2.1查找通路313

10.3鄰接矩陣314

10.3.1短路徑315

10.4路關係316

10.4.1複合關係316

10.5有向無環圖＆調度317

10.5.1調度318

10.5.2並行任務調度320

10.5.3 Dilworth引理322

10.6偏序323

10.6.1 DAG中路關係的性質323

10.6.2嚴格偏序324

10.6.3弱偏序325

10.7用集合包含表示偏序326

10.8線性序327

10.9乘積序327

10.10等價關係328

10.10.1等價類328

10.11關係性質的總結329

10.1節習題330

10.2節習題331

10.3節習題334

10.4節習題335

10.5節習題338

10.6節習題344

10.7節習題347

10.8節習題349

10.9節習題352

10.10節習題354

第11章通信網絡357

11.1路由357

11.1.1完全二叉樹357

11.1.2路由問題358

11.2路由的評估名額358

11.2.1網絡直徑358

11.2.2交換機的數量359

11.2.3網絡時延359

11.2.4擁塞360

11.3網路設計361

11.3.1二維陣列361

11.3.2蝶形網絡362

11.3.3 Benes？ 網絡363

11.2節習題368

11.3節習題368

第12章簡單圖373

12.1頂點鄰接和度373

12.2美國异性伴侶統計375

12.2.1握手引理376

12.3一些常見的圖377

12.4同構378

12.5二分圖與匹配380

12.5.1二分匹配問題380

12.5.2匹配條件381

12.6著色384

12.6.1一個考試安排問題384

12.6.2一些著色邊界386

12.6.3為什麼著色387

12.7簡單路388

12.7.1簡單圖中的路、通路和圈388

12.7.2圈作為子圖389

12.8連通性390

12.8.1連通分量390

12.8.2奇數長度的圈和2-著色性391

12.8.3 k？ C連通圖392

12.8.4連通圖的小邊數393

12.9森林和樹394

12.9.1葉子、父母和孩子394

12.9.2性質395

12.9.3生成樹397

12.9.4小生成樹397

12.10參考文獻401

12.2節習題402

12.4節習題403

12.5節習題406

12.6節習題411

12.7節習題418

12.8節習題420

12.9節習題424

第13章平面圖431

13.1在平面上繪製圖形431

13.2平面圖的定義433

13.2.1面434

13.2.2平面嵌入的遞迴定義436

13.2.3這個定義行嗎438

13.2.4外表面在哪裡呢438

13.3歐拉公式439

13.4平面圖中邊的數量限制440

13.5返回到K_ 5和K_ 3,3 441

13.6平面圖的著色442

13.7多面體的分類443

13.8平面圖的另一個特徵445

13.2節習題446

13.8節習題447

第Ⅲ部分計數

引言455

第14章求和與漸近性457

14.1年金的值458

14.1.1錢未來的價值458

14.1.2擾動法459

14.1.3年金價值的閉型460

14.1.4無限長的等比數列460

14.1.5示例461

14.1.6等比數列求和的變化462

14.2幂和463

14.3估算求和式子465

14.4超出邊界468

14.4.1問題陳述468

14.4.2調和數471

14.4.3漸近等式473

14.5乘積474

14.5.1斯特林公式475

14.6雙倍的麻煩477

14.7漸近符號479

14.7.1小o 479

14.7.2大O 479

14.7.3 θ  481

14.7.4漸近符號的誤區482

14.7.5Ω（選學）484

14.1節習題484

14.2節習題486

14.3節習題486

14.4節習題488

14.7節習題490

第15章基數法則499

15.1通過其他計數來計算當前計數499

15.1.1雙射規則499

15.2序列計數500

15.2.1乘積法則501

15.2.2 n-元素集合的子集501

15.2.3加和法則502

15.2.4密碼計數502

15.3廣義乘積法則503

15.3.1有缺陷的美元鈔票504

15.3.2一個象棋問題505

15.3.3排列505

15.4除法法則506

15.4.1另一個象棋問題506

15.4.2圓桌騎士507

15.5子集計數508

15.5.1子集法則509

15.5.2比特序列510

15.6重複序列510

15.6.1子集序列510

15.6.2 Bookkee

-----------------------------------------------------------

【具體數學：計算機科學基礎】

內容簡介

《具體數學：計算機科學基礎（第2版）》是一本在大學中廣泛使用的經典數學教科書。 書中講解了許多計算機科學中用到的數學知識及技巧，教你如何把一個實際問題一步步演化為數學模型，然後通過電腦解决它，特別著墨於演算法分析方面。 其主要內容涉及和式、整值函數、數論、二項式係數、特殊的數、生成函數、離散概率、漸近式等，都是程式設計所必備的知識。 另外，《具體數學：計算機科學基礎（第2版）》包括了六大類500多道習題，並給出了所有習題的解答，有助讀者加深書中內容的理解。

《具體數學：計算機科學基礎（第2版）》面向從事計算機科學、計算數學、計算科技諸方面工作的人員，以及高等院校相關專業的師生。

作者簡介

Ronald L. Graham（葛立恒）著名數學家，美國加州大學聖達戈分校電腦與資訊科學專業教席（Jacobs Endowed Chair），AT&T實驗室研究中心榮譽首席科學家，美國數學學會前任主席。 Graham於1999年成為美國電腦學會會士，2003年獲得美國數學學會的斯蒂爾終身成就獎，2012年成為美國數學學會會士。 他還曾獲得美國數學學會頒發的Lester R. Ford獎和Carl Allendoerfer獎以及其他眾多獎項。

Donald E. Knuth（高德納）著名電腦科學家，演算法與程式設計科技的先驅者、斯坦福大學電腦系榮休教授、電腦排版系統TEX和METAFONT字體系統的發明人，因諸多成就以及大量富於創造力和具有深遠影響的著作（19部書，1160篇論文）而譽滿全球。 近些年，他將精力全部投入到《計算機程序設計藝術》七卷集的史詩般創作中。 Knuth教授獲得過許多獎項和榮譽，包括美國電腦協會圖靈獎、美國國家科學獎章、美國數學學會的斯蒂爾獎，以及因發明先進科技於1996年榮獲的京都獎。 1996年，設立了以其名字命名的Donald E. Knuth獎，授予那些為計算機科學基礎做出傑出貢獻的人。

Oren Patashnik著名電腦科學家，BibTeX的創始人之一，是位於拉荷亞的通信研究中心的研究員。 他1976年畢業於耶魯大學，後來在斯坦福大學師從Knuth，1980年就職於貝爾實驗室。 1985年與Leslie Lamport合作創建了BibTeX（LaTeX的一種工具，用於管理文獻、產生文獻目錄）。

目錄

第1章遞迴問題1

1.1河內塔1

1.2平面上的直線4

1.3約瑟夫問題7

習題14

第2章和式18

2.1記號18

2.2和式和遞迴式21

2.3和式的處理25

2.4多重和式28

2.5一般性的方法35

2.6有限微積分和無限微積分39

2.7無限和式47

習題52

第3章整值函數56

3.1底和頂56

3.2底和頂的應用58

3.3底和頂的遞迴式66

3.4 mod：二元運算68

3.5底和頂的和式72

習題79

第4章數論85

4.1整除性85

4.2素數88

4.3素數的例子89

4.4階乘的因數93

4.5互素96

4.6 mod：同餘關係103

4.7獨立剩餘105

4.8進一步的應用107

4.9函數和函數110

習題119

第5章二項式係數126

5.1基本恒等式126

5.2基本練習143

5.3處理的技巧154

5.4生成函數164

5.5超幾何函數170

5.6超幾何變換180

5.7部分超幾何和式186

5.8機械求和法191

習題202

第6章特殊的數214

6.1斯特林數214

6.2歐拉數223

6.3調和數228

6.4調和求和法233

6.5伯努利數237

6.6斐波那契數244

6.7連項式252

習題259

第7章生成函數268

7.1多米諾理論與換零錢268

7.2基本策略277

7.3解遞迴式282

7.4特殊的生成函數294

7.5卷積296

7.6指數生成函數305

7.7狄利克雷生成函數310

習題312

第8章離散概率320

8.1定義320

8.2平均值和方差325

8.3概率生成函數331

8.4拋擲硬幣336

8.5散列法344

習題357

第9章漸近式367

9.1量的等級368

9.2大O記號370

9.3 O運算規則376

9.4兩個漸近技巧388

9.5歐拉求和公式393

9.6 **後的求和法398

習題410

附錄A習題答案417

附錄B參考文獻508

附錄C習題貢獻者536

譯後記541

索引543

錶索引563